МВ (методичка)

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным: x0=100, y0=10; x1=121, y1=11 ( y = x ),

найти его значение в точке x = 110,25 и оценить погрешность интерполяции. Согласно (5) при n = 1 имеем:

5.ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

5.1. Постановка задачи.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл I = ∫b f (x)dx , где f(x) непрерывная на [a, b]

a

функция. Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу, которая называется квадратурной:

зависящие только от выбранных узлов, но не от вида функции f(x).

Обозначим через R[f] – погрешность или остаточный член формулы, тогда

R[ f ] = ∫b ( f (x) − Ln (x))dx .

a

Таким образом,

31

Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой. Квадратурные формулы для равноотстоящих узлов называют формулами Ньютона – Котеса.

5.2.Формулы прямоугольников.

Заменим функцию на отрезке [a, b] многочленом Лагранжа нулевой степени с одним узлом x0 – константой f(x0). Тогда искомый интеграл, равный площади криволинейной трапеции, будет прибли-

женно равен площадипрямоугольника с высотой f(x0) и основанием b − a. В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулы:

Формула левых прямоугольников (x0 = a, рис.7):

f(b)

f(а)

Формула правых прямоугольников (x0 = b, рис.8):

32

f(b)

f((a+b)/2)

f(a)

Рис.9

5.3.Формула трапеций.

Заменим функцию на отрезке [a, b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a, x1 = b. Графически это соответствует замене кривой на секущую. Таким образом, искомый интеграл, равный площади криволинейной трапеции, будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b − a, и основаниями f(a) и f(b) (рис.10). Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций:

f(b)

f(a)

Рис.10

Погрешность можно оценить так:

5.4.Формула Симпсона.

Формула Симпсона (формула парабол) может быть получена при интерполировании по трем узлам:

Погрешность вычисляется по формуле

33

5.5.Составные формулы.

Рассмотренные формулы называют простыми. На практике, поскольку длина отрезка [a, b] может быть велика, пользуются составными формулами, с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью. Для получения этих формул разобьем отрезок [a, b] узлами: a = x0 < x1 < x2 < … <xn = b, предположим, что узлы равноотстоящие и расстояние между соседними уз-

применим какую-либо простую формулу. Приведем составные формулы с погрешностями для рассмотренных выше простых формул.

Формула левых прямоугольников:

В этих формулах h = b −n a

Составная формула Симпсона:

34

Легко получить выражение для погрешности

(4) (x) (b −a)h4 . 2880

Если погрешность квадратурной формулы R[f] ≤ Chp , где С– постоянная, то говорят, что формула имеет порядок погрешности по h равный p.

Пример. Вычислить по формулам левых прямоугольников, трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл

π 2

I = ∫sin xdx . Точное значение этого интеграла равно 1.

Вычислим погрешности, вычитая результат, полученный с помощью приближенного метода, из точного значения, которое равно 1. Сравним полученные результаты с теоретической оценкой по-

Здесь M1, M2, M4 − максимальные значения модулей первой, второй и четвертой производной sinx

соответственно на отрезке [0, π/2] (везде = 1). Очевидно, полученные погрешности методов согласуются с их теоретической оценкой.

5.6.Алгебраическая степень точности формул численного интегрирования.

Рассмотрим применение простой формулы численного интегрирования для случая, когда f(x) является многочленом. Если формула точна для всех многочленов степени меньше или равной N и не точна для многочлена степени N + 1, то N − алгебраическая степень точности данной формулы (Nа).

Таким образом:

для формулы правых и левых прямоугольников Nа =0;

35

для формулы средних прямоугольников и трапеций Nа = 1; для формулы Симпсона Nа =3.

Требование точности формулы для многочленов заданной степени используется при построении квадратур методом неопределенных коэффициентов.

5.7.Метод неопределенных коэффициентов для построения квадратурных формул.

Рассмотрим метод неопределенных коэффициентов на примере построения формулы «трех восьмых». Узлы определяются следующим образом:

Тогда формула имеет вид:

∫b f (x)dx ≈ A0f(x0) + A1f(x1) + A2f(x2) + A3f(x3)

a

По четырем узлам можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени. Отсюда, алгебраическая степень точности этой формулы равна трем, значит, формула должна быть верна для многочленов (x − a)i, где i = 0, 1, 2, 3. Подставив эти функции в формулу, и проведя простейшие преобразования, получим систему уравнений относительно коэффициентов Ai:

Выразив из второго и третьего уравнения A1 и A3 через A2 и подставив в четвертое, получим :

5.9.Метод Рунге оценки погрешности квадратурных формул.

Практическое применение полученных выше оценок погрешностей требует аналитических выкладок и достаточно большого объема работы, кроме того, оценки часто оказываются завышенными. При практическом анализе погрешности численного интегрирования часто пользуются различными полуэмпирическими приемами. Наиболее распространенным является метод Рунге, основанный на вычислении главного члена погрешности. Пусть для вычисления интеграла применяется квадратурная формула порядка p с шагом h:

I[f] = Sh[f] + Rh[f], где Rh[f] = C·hp + o(hp) ,

36

здесь C·hp – главный член погрешности Применим ту же формулу для шага h2 , получим:

Вычитая второе равенство из первого, получим:

S h [ f ] − Sh[ f ] ≈ С·hp(1 − 1/2p). Таким образом, имеем:

2

6.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

6.1.Постановка задачи.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:

найти решение уравнения y′ = f(x, y) на отрезке [x0, x0 + L], удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0 (1)

Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в некоторой окрестности начальной точки x0, то можно указать такой отрезок [x0 , x0 + L] , на котором решение задачи (1) существует и единственно. Численные методы позволяют приближенно вычислить искомое решение y(x) в некоторых точках xi [x0, x0 +L]. Решение ищется в виде последовательности значений y0, y1, y2,

. . . , yn , где yi – приближенное значение точного решения y(x) в точке xi .

6.2.Методы, основанные на разложении решения задачи Коши в ряд Тейлора.

Пусть f(x, y) имеет в рассматриваемой области непрерывные и ограниченные частные производные. Тогда можно записать для решения (1) разложение в ряд Тейлора:

37

y(x) = y0 + y′(x0 )(x − x0 ) + y′′2(x!0 ) (x − x0 )2 +..

.. + y (k ) (ξ) (x − x0 )k + ...

k!

где y′(x0) = f(x0, y0)

y′′(x0 ) = f′x(x0, y0) + f′y(x0, y0)f(x0, y0)

и т.д. Оборвем разложение на члене, содержащем (x − x0)k. Таким образом, можно записать приближенное равенство

применим. Тогда целесообразно поступить следующим образом: разобьем отрезок [x0, x0 + L] на отрезки [xj - 1, xj], j = 1 ,…, N. Имеем систему равноотстоящих узлов xj = x0 + j·h , где h = L/n.

Говорят, что порядок точности метода на одном шаге равен р + 1, если найдется такое С ≠ 0, что

│y1 − y(x1)│ ≤ Chp + 1

Решая задачу (1) на [xj , xj + h], предположим, что точно известно значение y(xj) = yj, имеем:

погрешность на одном шаге – O(hk + 1), а погрешность на всем промежутке [x0, x0 + L] вносится на каждом отрезке (всего на О(h-1) отрезках), тогда на всем промежутке погрешность равна O(hk)

и называется методом Эйлера. Геометрическая интерпретация метода Эйлера представлена на рис.11.

y(xk+1)

yk+1

yk

Рис.11

Его одношаговая погрешность равна О(h2). Погрешность на всем промежутке – О(h) , таким образом, это метод первого порядка точности относительно h.

Построенные подобным образом более точные методы требуют вычисления на каждом шаге не только значения функции f(x, y), но и ее частных производных. Это существенно усложняет решение

38

задачи. Поэтому при разработке более точных методов стремятся заменить вычисление производных функции f(x, y) нахождением значений самой функции в нескольких точках. Эта идея лежит в основе построения методов Рунге – Кутты.

6.3.Методы Рунге – Кутты.

Пусть известно значение решения задачи (1) в некоторой точке x и требуется вычислить его в точке x + h . Справедливо следующее равенство:

y(x + h) = y(x) + ∫h y′(x +t)dt

0

Вычисляя ∫h y′(x +t)dt по формуле левых прямоугольников, получим

0

y(x+h) = y(x) + y′(x)h + O(h2), или y(x+h) ≈ y(x) + f(x, y)h

полагая здесь x = xi, получим метод Эйлера.

Заменяя в этой формуле неизвестное y(x+h) приближенным значением, полученным по методу Эйлера, получим метод Эйлера с пересчетом:

Одношаговая погрешность этого метода равна О(h3). Погрешность на всем промежутке − О(h2),

Заменяя в этой формуле неизвестное y(x + h2) приближенным значением, полученным по методу Эйлера, получим метод Коши:

y(x + h) ≈ y(x) + hf (x + h2 , y(x) + h2 f (x, y)) , или

39

Одношаговая погрешность этого метода равна О(h3). Погрешность на всем промежутке − О(h2), таким образом, это метод второго порядка точности относительно h.

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге – Кутты второго порядка, общий вид

го решения до слагаемого порядка О(h3). Выполнение этого требования достигается, если αP2 = βP2

= 0,5; P1 + P2 = 1.

Таким образом, методу Эйлера с пересчетом соответствуют значения α = β = 1, P1 = P2 = 0,5; а

методу Коши значения α = β = 0,5; P1 = 0; P2 = 1.

Одношаговая погрешность этого метода О(h5). Погрешность на всем промежутке О(h4)

Пример. Дана задача Коши : y′ = − x3y+1, y(0) = 2 .

Найти приближенные значения решения в точках 0,1; 0,2; 0,3 по методу Эйлера, Эйлера с пересчетом и по методу Коши; сравнить с точным решением.

Найдем точное решение этой задачи.

Разделим переменные: dyy = −3 xdx+1 , проинтегрируем:

ln|y| = − 3ln|x + 1| + lnC, отсюда y = (x +С1)3 .

Из начального условия имеем: y(0) = C = 2. Таким образом, точное решение задачи Коши имеет

вид: y = (x +21)3 .

Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера в точках 0,1; 0,2; 0,3. y(0) = y0 = 2

40