Численные методы. Интегрирование. Решение ОДУ

Подставив в формулу (**) значения Ai sin Xi è ó÷òÿ, ÷òî

p =1,57079633..., 2

получим JГаусса = 1,0000000.

В результате при значении интеграла

π

ò2 f (x)dx = 1

0

формулы для приближенного вычисления дали следующие результаты:

Формулы Чебышева и Гаусса при вдвое меньшем числе узлов дают более точные результаты, чем формула трапеций. Заметим, что формула Чебышева при количестве узлов n = 5 дает такой же результат, как формула Симпсона при n = 10. Результат, наиболее близкий к точному, обеспечивает формула Гаусса. Погрешность формулы Гаусса при n узлах можно оценить из соотношения

ãäå M2n – максимум модуля 2n-й производной подынтегральной функции f(x) на отрезке интегрирования [a; b].

Наибольшую точность в данном примере обеспечила формула Гаусса. Однако это не всегда имеет место. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Дана функция

F(x) = (63x5 – 70x3 + 15x)2.

По формуле Ньютона – Лейбница можно легко вычислить интеграл

+1

òF (x)dx =11,63636.

−1

Если для приближенного вычисления этого интеграла применить формулу Гаусса при n = 5, то получим

JГаусса = 0,

поскольку функция

F(x) = (63x5 – 70x3 + 15x)2

обращается в нуль при значениях x, соответствующих пяти узлам формулы Гаусса:

2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальными условиями y(x0) = y0 (задача Коши). Решением этого уравнения является функция y(x) – такая, что

è y(x0) = y0.

Точные методы позволяют найти аналитический вид функции y(x), а в тех случаях, когда это невозможно или трудно, использу-

ются численные методы, дающие решение задачи в виде таблицы приближенных значений y(x) на отрезке [x0, xm].

Зададим на отрезке [x0, xm] равноотстоящие точки

которые разбивают отрезок на n частей. Проинтегрируем обе части равенства (2.2) на отрезке [x0; x1]:

Для вычисления интеграла в правой части равенства (2.3) используются различные приближенные методы. Вычислим этот интеграл, например, используя метод левых прямоугольников. При этом не будем разбивать на части отрезок интегрирования [x0; x1]:

Тогда равенство (2.3) примет вид

y(x1) ≈ y(x0) + h f(x0, y(x0)).

Повторив те же рассуждения для следующего отрезка [x1; x2], получим

y(x2) ≈ y(x1) + h f(x1, y(x1))

и т. д. Приближенное значение y(x) в точке xi + 1 найдется по формуле

и приближенно, методом Эйлера найдем

Метод, использующий алгоритм (2.7)–(2.9), называется методом серединных точек.

Суммарная погрешность метода Эйлера – Коши и метода серединных точек равна

S= O(h2),

ò.е. это методы второго порядка точности: они на порядок точнее метода Эйлера.

Погрешности значений yi можно приближенно оценить методом двойного пересчета (метод Рунге). Для этого на отрезке [x0, xm] находят значения yi с шагом h, затем проводят вычисления с шагом h/2. В результате каждой из точек

x1, x2, …, xn

будет соответствовать два приближенных значения функции: yi – полученное при расчетах с шагом h, и yi*, полученное при расчетах с шагом h/2. Приближение yi* является более точным, его и следует взять в качестве ответа. Погрешность этого приближения, т. е. различие между yi* и точным значением функции в точке xi , оценивается по формуле

для методов трапеций и серединных точек.

Пример 6. Используя метод Эйлера и метод серединных то- чек, на отрезке [1; 1,2] найти численное решение дифференциального уравнения

y′ = x2 + y2

удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1, и оценить погрешность решения при x = 1,2.

Р е ш е н и е 1. Метод Эйлера

Пусть n = 5 , тогда

h = xm − x0 = 1,2 −1 = 0,04.

Здесь f(x, y) = x2 + y2, i = 0, 1, 2, …, 5. Ó÷òÿ, ÷òî

x0 = 1, y0 = 1,

по формулам (2.12) найдем x1, y1 и т. д. Составим таблицу приближенных значений функции (табл. 9):

Теперь возьмем n* = 2n = 10, тогда

h = xm − x0 = 1,2 −1 = 0,02, n* 10

i = 0, 1, 2, …, 10.

Снова проведем вычисления по формулам (2.12) и составим таблицу.

В результате для x = 1,2 мы получили два приближенных значе- ния функции: yn = 1,5168 è yn* = 1,5373. В качестве ответа возьмем более точное приближение yn* = 1,5373, соответствующее меньшему шагу. Погрешность его оценим по формуле (2.10):

D »½yn – yn*½=½1,5168 – 1,5373½= 0,021.

Поэтому

y(1,2) = 1,537, D » 0,021.

2. Метод серединных точек

Пусть n = 5 , тогда длина отрезка

h = xm - x0 = 1,2 -1 = 0,04. n 5

Для нахождения приближенных значений функции yi воспользуемся формулами

xi+1 2 = xi + h , 2

Теперь мы сможем найти функцию f(x, y) в середине отрезка [x0; x1] и вычислить y1:

=1,000 + 0,04 × (1,0202 +1,0402 ) =1,08488.

Найдем

x1 = x0 + h = 1,000 + 0,04 = 1,040.

Таким образом, в точке x1 = 1,040 имеем y1 = 1,08488. Действуя так же, найдем x2, y2 и т. д. Составим таблицу приближенных значе- ний функции.

Теперь возьмем n* = 2n = 10, тогда

h = xm − x0 = 1,2 −1 = 0,02 , n* 10

i = 0, 1, 2, …, 10.

Снова проведем вычисления и составим таблицу.

Таким образом, для x = 1,2 мы получили два приближенных значения функции: yn = 1,5583 è yn* = 1,5595. В качестве ответа возьмем более точное приближение yn* = 1,5595, соответствующее меньшему шагу. Погрешность его оценим по формуле (2.11)

Следовательно,

y(1,2) = 1,5595, ≈ 0,0004.

Сравним это значение с результатом, полученным методом Эйлера: y(1,2) = 1,537, ≈ 0,021.

Погрешность метода серединных точек на порядок меньше.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Узлы квадратурной формулы Чебышева

Коэффициенты формулы Котеса

Î êî í ÷ à í è å ò à á ë.

Узлы и коэффициенты формулы Гаусса

(для пределов интеграла a = 0, b = 1)

Î êî í ÷ à í è å ò à á ë.

Понятие «O большое»

Пусть ϕ(h) – некоторая функция переменной h c конечной областью определения Dϕ на полуоси h > 0, причем h Dϕ может принимать сколь угодно малые значения. Тогда, если существуют такие положительные числа h0, ñ, k, ÷òî ïðè âñåõ h Dϕ, удовлетворяющих условию 0 < h ≤ h0, выполняется неравенство

ϕ(h) ≤ chk ,

пишут

ϕ(h) = O(hk)

и говорят, что ϕ(h) есть O большое от hk (ïðè h → 0). Пример: sin2 2h = O(h2), òàê êàê sin2 2h ≤ 4h2.

Список литературы

Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. М.: Физматлит, 2003.

Поршнев С. В. Вычислительная математика: Курс лекций. СПб.: БХВПетербург, 2004.

Зализняк В. Е. Основы научных вычислений: Введение в численные методы для физиков. М.: Едиториал УРСС, 2002.

Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: Техтеоретлит., 1950.

Вержбицкий В. М. Основы численных методов. M.: Высш. шк., 2002. Фильчаков П. Ф. Численные и графические методы прикладной ма-

тематики. Киев: Наукова думка, 1970.

Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2003.

Волков Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004.