DE_math_ch3
.pdf
От системы
x˙ 1
x˙ 2
=f1(x1, x2, ..., xn)
=f2(x1, x2, ..., xn)
|
|
........................... |
|
|
||
|
x˙ n = fn(x1, x2, ..., xn) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перейдем к системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx1 |
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
f |
(x , x , ..., x |
) |
|
|
|
|
1 |
1 2 n |
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
||
dt = f2(x1, x2, ..., xn)
..........................
|
dxn |
dt = fn(x1, x2, ..., xn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим систему в симметрической форме:
dx1 |
|
dx2 |
= · · · = |
dxn |
||
|
|
= |
|
|
. |
|
f1(X) |
f2(X) |
fn(X) |
||||
Решения дадут первые интегралы. Иногда получается найти решения только части уравнений, тогда мы получаем соответственно столько же и первых интегралов.
Замечание.
Если функция V (U1, U2, . . . , Un) определена и непрерывна вместе со
своими частными производными j = 1, m в ¾достаточно боль-
шой¿ области, а U1(X), U2(X), . . . , Um(X) первые интегралы си-
стемы ˙ , то и функция
X = F (X) V (U1(X), U2(X), . . . , Un(X))
первый интеграл. (¾Достаточно большая¿ область – туда входят все
U1(X), U2(X), . . . , Um(X)).
Сведение системы дифференциальных уравнений к одно-
му уравнению
Пусть дана система
x˙ 1 = f1(t, x1, x2, ..., xn) |
|
||
x˙ |
2 |
= f2(t, x1, x2, ..., xn) |
|
|
|
. |
(13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
................................... |
|
||
|
|
|
|
x˙ n = fn(t, x1, x2, ..., xn) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмём первое уравнение, продифференцируем его n раз, заменяя
производные |
dxi |
i = 1, n правыми частями системы. |
dt |
d2x |
1 |
|
∂f |
1 |
|
|
n |
∂f |
1 |
|
dx |
i |
|
|
∂f |
1 |
|
|
|
n |
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
|
+ |
Xi |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
X |
|
1 |
f |
= f (t, x , x , ..., x |
|
) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
dt2 |
|
|
∂t |
∂xi |
|
dt |
|
|
|
∂t |
|
|
|
i |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d3x1 |
|
∂f |
n |
∂f dxi |
|
|
|
∂f |
|
n |
|
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
2 |
+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
+ |
|
|
2 |
f |
i |
= f (t, x |
, x |
, ..., x |
n |
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
dt3 |
|
|
∂t |
|
|
∂xi |
|
dt |
|
|
|
∂t |
|
|
|
∂xi |
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
И далее
dn−1x1 |
= f |
|
(t, x1, x2, ..., xn) , |
|
|||||
dtn−1 |
|
|
|||||||
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|||
dnx1 |
= f |
(t, x |
, x |
, ..., x |
n |
) . |
(14) |
||
|
|
||||||||
|
dtn |
n |
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим систему
dx1
dt
dx1
dt2
= f1(t, x1, x2, ..., xn)
= f2 (t, x1, x2, ..., xn)
(15)
|
....................................... |
||
dtn−1 |
= fn |
1(t, x1, x2, ..., xn) |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxn−1
1
Предположим, что выполнены условия, при которых эта система опре-
деляет x2, x3, . . . , xn, т.е.
x2 |
= g2(t, x1, dt1 |
, . . . , |
dtn−11 ) |
|
|
dx |
|
dn−1x |
|
|
dx1 |
|
n 1 |
x1 |
|
|
d − |
||
...................................... |
|
|
|
(16) |
xn = gn(t, x1, dt , . . . , dtn−1 ) |
||||
Тогда, подставив их в уравнение (14), получим уравнение n-го порядка
dnx |
t, x1, |
dx |
dn−1x |
. |
|
||
1 |
= Φ |
1 |
, . . . , |
1 |
(17) |
||
dtn |
dt |
dtn−1 |
|||||
Пусть найдено общее решение уравнения
x1 = ϕ(t, C1, C2, . . . , Cn).
Подставляя эту функцию в формулы (16), вычисляем x2, x3, . . . , xn
как функции t, C1, C2, . . . , Cn. Вместе с функцией
x1 = ϕ(t, C1, C2, . . . , Cn)
они составляют общее решение системы (13).