DE_math_ch3

Уравнения, допускающие понижение порядка

В некоторых случаях можно понизить порядок уравнения

F (x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0. (6)

1). Уравнение не содержит искомой функции и нескольких её производных:

Заменой y(k) = z, F (x, z, z0, . . . , z(n−k)) = 0 понижается порядок уравнения на k единиц. При этом

y(k)(x) = z(x) y(k+1)(x) = z0(x)

· · ·

y(n)(x) = z(n−k)(x)

Общее решение уравнения F (x, z, z0, . . . , z(n−k)) = 0 выглядит как z = z(x, C1, C2, . . . , Cn−k), чтобы найти общее решение уравнения (7), делаем следующее:

y(k)(x) = z(x, C1, C2, . . . , Cn−k)

y(k−1)(x) = R z(x, C1, C2, . . . , Cn−k)dx + Cn−k+1

·· ·

итак далее, в результате получим общее решение уравнения (7) в виде y = y(x, C1, C2, . . . , Cn).

2). Уравнение не содержит явно независимой переменной:

Введение новой искомой функции p и нового аргумента y по формуле y0 = p(y) позволяет понизить порядок уравнения на единицу.

.. .

итак далее.

3). Уравнение вида

d Φ(x, y, y0, y00, . . . , y(n−1)) = 0. (9) dx

Тогда функция y = ϕ(x) является решением уравнения (9) в интервале

(r1, r2) тогда и только тогда, когда

Φ x, ϕ(x), ϕ0(x), . . . , ϕ(n−1)(x) ≡ C

в этом интервале. Получаем первый интеграл

Φ x, y, y0, . . . , y(n−1) = C

уравнения (9) и понижаем его порядок на единицу (о первых интегралах см. далее). Получим общее решение (9) y = y(x, C1, C2, . . . , Cn).

4). Уравнение вида (6)

F (x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0,

левая часть однородная функция переменных y, y0, . . . , y(n),

t F x, ty, ty0, . . . , ty(n) = tmF x, y, y0, . . . , y(n)

.

Вводим новую искомую функцию z = z(x), такую что y0 = yz. Далее

При m > 0 y = 0 – решение, m < 0 y = 0 – не решение. Имеем

˜ 0 (n−1)

F (x, z, z , . . . , z ) = 0 z = z(x, C1, C2, . . . , Cn−1)

Значит y0 = y · z(x, C1, C2, . . . , Cn−1) и

dyy = z(x, C1, C2, . . . , Cn−1)dx

R

ln |y| = z(x, C1, C2, . . . , Cn−1)dx + ln Cn

Общее решение исходного уравнения:

R

y = Cne z(x,C1,C2,...,Cn−1)dx.

Первые интегралы системы дифференциальных уравнений и понижение порядка.Симметричная запись системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим систему автономную систему ДУ.

X = (x1, x2, . . . , xn)T ,

F (X) = (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fn(x1, x2, . . . , xn))T .

В скалярной форме система (10) имеет вид

Определение. Первым интегралом системы ˙ в обла-

X = F (X)

сти G называется функция U(X) = U(x1, x2, . . . , xn), если

1) U(X) определена и непрерывна вместе со своими частными производными (i = 1, n) в области G.

2) Для любого решения X = ϕ(t) = (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)), график которого не покидает области G, справедливо соотношение:

U(ϕ(t)) = U (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)) = const.

Замечания:

1). Предполагаем, что U(X) - не есть тождественная константа.

2). При замене одного решения X = ϕ(1)(t) другим X = ϕ(2)(t) величина U(ϕ(t)) может измениться.

3). Если U(X) - первый интеграл, то первым интегралом называют также уравнение U(X) = C.

Теорема. Критерий первого интеграла.

Непрерывно дифференцируемая функция на G является первым интегралом системы