К/Р №3 алгебра

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 11

1.Убедившись, что точка A( 2; 0; 1) лежит на гиперболическом параболо-

иде x42 y92 = z, определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через A.

2.Проверить, что прямая 3x y 12 = 0 касается кривой x202 y362 = 1 и определить координаты точки касания.

3.Дана квадратичная форма 4x21 + x22 + 2x23 5x24 + 2x1x2 + 2x1x3 2x1x4 2x2x3 + 2x2x4 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дополнить векторы e1 = (1; 1; 1; 1; 2) и e2 = (2; 1; 3; 4; 2) до ортогонального базиса пространства R5.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 12

1.Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющая которого дана уравнениями x2 2z + 1 = 0, y z + 1 = 0.

2.Проверить, что прямая 3x 16y + 24 = 0 касается кривой xy = 3 и определить координаты точки касания.

3.Дана квадратичная форма 5x21 5x22 5x23 + 2x24 8x1x2 4x1x3 10x1x4 +2x2x3 6x2x4 +2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному

виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дополнить векторы e1 = (1; 1; 1; 1; 2) и e2 = (2; 7; 3; 4; 2) до ортогонального базиса пространства R5.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 13

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 2x2+ 9y2 + 2z2 4xy + 4yz 1 = 0.

2.Составить уравнения касательных к эллипсу x302 + y242 = 1, параллельных прямой 2x y 1 = 0.

3.Дана квадратичная форма 2x21 5x22 + 3x23 x24 + 2x1x2 4x1x3 + 6x1x4 6x2x3 4x2x4 10x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дано линейное подпространство U, порожденное векторами a1 = ( 1; 0; 0; 1); a2 = ( 1; 0; 0; 4); a3 = ( 1; 0; 0; 3) . Найти ортогональный базис U и базис ортогонального дополнения U?.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 14

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 2x2+ 9y2 + 2z2 4xy + 4yz 1 = 0.

2.Составить уравнения касательных к эллипсу x302 + y242 = 1, перпендикулярных к прямой 2x y 1 = 0.

3.Дана квадратичная форма 4x21 2x22 4x23 2x24 4x1x2 2x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 6x2x4 4x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному

виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дано линейное подпространство U, порожденное векторами a1 = ( 2; 2; 1; 0); a2 = ( 3; 0; 4; 0); a3 = ( 1; 0; 1; 0).

Найти ортогональный базис U, базис ортогонального дополнения U?, а также ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x = ( 1; 1; 5; 1) на U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 15

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 4y2

3z2 + 4xy 4xz + 8yz = 0.

2.Составить уравнения касательных к эллипсу x302 + y242 = 1, образующих

спрямой x + 3y + 3 = 0 угол 450.

3.Дана квадратичная форма x21 + 3x22 x23 + x24 + 2x1x2 10x1x3 + 2x1x4 10x2x3 4x2x4 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений

8

> x1 + 3x2 x3 3x4 + 4x5 = 0;

<

x1 x2 x3 + x4 = 0;

:

> x + 2x + x 5x = 0:

1 2 3 5

Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 16

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2 + y2 + 4z2 2xy + 4xz 4yz 2x + 2y + 2z = 0.

2.Составить уравнения касательных к гиперболе x252 y162 = 1, параллельных прямой 4x 3y = 0.

3.Дана квадратичная форма 2x21 4x22 x23 3x24 + 6x1x2 6x1x3 + 2x1x4 4x2x3 2x2x4 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Подпространство U порождается векторами a~1 = (2; 0; 1; 3), a~2 = ( 1; 2; 1; 4), a~3 = (5; 1; 2; 0). Найти базис ортогонального дополнения U?.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 17

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2 + y2 + z2 xy + xz + yz + 3x + 3y 3z = 0.

2.Составить уравнения касательных к гиперболе x252 y162 = 1, параллельных прямой x = 1.

3.Дана квадратичная форма 3x21 + 3x22 + 3x23 + x24 2x1x2 + 2x1x3 + 6x1x4 10x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Пространство U порождается векторами a~1 = (2; 1; 1; 1), a~2 = (1; 1; 3; 0), a~3 = (1; 2; 8; 1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора b = (5; 2; 2; 2) на U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 18

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2

3z2 4yz 4y + 2z + 5 = 0.

2.Составить уравнения касательных к гиперболе x252 y162 = 1, параллельных прямой x = 1.

3.Дана квадратичная форма 8x21 + 8x22 + 4x23 + 2x24 10x1x2 + x1x3 20x1x4 x2x3 10x2x4 +2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному

виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дополнить векторы e1 = (1; 1; 1; 1; 2) и e2 = (2; 1; 3; 4; 2) до ортогонального базиса пространства R5.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 19

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2 + y2 + z2 2xy 4x + 4y + 3 = 0.

2.Составить уравнения касательных к гиперболе x252 y162 = 1, параллельных прямой x 2y + 1 = 0.

3.Дана квадратичная форма 5x21 2x22 2x23 + x24 4x1x2 6x1x3 4x1x4 4x2x3 + 6x2x4 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дополнить векторы e1 = (1; 1; 1; 1; 2) и e2 = (2; 7; 3; 4; 2) до ортогонального базиса пространства R5.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 20

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: y2 + 2xz + 2x + 2z + 1 = 0.

2.Составить уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, если он проходит через точку A( 3; 2) и касается прямой 4x 6y 25 = 0.

3.Дана квадратичная форма x21 x22 + x23 10x1x2 10x1x3 + 2x1x4 8x2x3 + 2x2x4 4x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма

положительно определенной.

4.Дано линейное подпространство U, порожденное векторами a1 = ( 1; 0; 0; 1); a2 =

( 1; 0; 0; 4); a3 = ( 1; 0; 0; 3) . Найти ортогональный базис U и базис ортогонального дополнения U?.