elemen_teorija
.pdfГлава 2
КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫЕ МЕРЫ, СТУПЕНЧАТЫЕ И ЯРУСНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 2.1. Введение
Настоящая глава является подготовительной. В ней рассматриваются ФМ со свойствами конечной и счетной аддитивности, именуемые мерами и играющие каждая роль инструмента при построении процедур интегрирования, а также в/з функции на фиксированном множестве, обладающие каждая свойством «равномерной аппроксимируемости» простейшими ступенчатыми функциями. Каждая ступенчатая в/з функция принимает лишь конечное число значений, а потому, как будет показано позднее, допускает при построении интеграла очень простое описание последнего — в виде конечной суммы, что, в частности, удобно с точки зрения организации вычислительных процедур. Что же касается в/з функций, допускающих равномерное приближение ступенчатыми и именуемых далее ярусными, то, в естественных для теории интегрирования по к.-а. мере условиях, они образуют, вообще говоря, более широкий класс функций в сравнении с измеримыми. Впрочем, связь ярусных и ограниченных измеримых в/з функций также будет рассмотрена в заключении настоящей главы. Среди всевозможных в/з конечно-аддитивных (к.-а.) мер особо выделяем к.-а. меры ограниченной вариации, которые, с одной стороны, сохраняют при использовании в конструкциях интегрирования многие свойства неотрицательных к.-а. мер, а с другой — позволяют активно применять средства линейного анализа.
Мы рассматриваем различные типы измеримых структур (см. § 1.7): мультипликативные семейства с «нулем» и «единицей» (в [28] такие семей-
80
ства именовались предполуалгебрами), полуалгебры, алгебры и σ−алгебры множеств. Использование последних типично для классической лебеговской теории меры и для аксиоматики А.Н. Колмогорова в теории вероятностей. Для к.-а. теории меры, напротив, более естественны с точки зрения конкретных применений полуалгебры и алгебры множеств. Отметим, что последние широко и по существу использовались при построении весьма общей теории интегрирования в [10, гл. III] (отметим в этой связи также известный результат [38], касающийся оснащения мерами стандартного ИП). Мы особо выделяем ИП с полуалгебрами множеств; эти ИП, с одной стороны, полезны в приложениях (например, при построении расширений задач импульсного управления; см. [35–37] и др.), а с другой, — они «свободны» от некоторых патологий ИП с мультипликативными семействами. В то же время упомянутые ИП с полуалгебрами множеств легко редуцируются к ИП с оснащением в виде алгебры множеств, которые, как уже отмечалось в связи с конструкциями [10, гл. III] (см. также [34]), широко используются в к.-а. теории меры. Отметим, что для ИП с полуалгебрами и алгебрами множеств легко строятся примеры к.-а., но не с.-а., мер. В частности, можно говорить о примерах чисто к.-а. мер в смысле известного разложения Хьюитта-Иосиды [43].
§2.2. Конечно-аддитивные меры на мультипликативном семействе с «нулем» и «единицей»
Всюду в последующем изложении фиксируем, если не оговорено противное, множество E и семейство
L π[E]; |
(2.2.1) |
см. (1.7.1). Напомним в связи с фиксацией (E, L), что (см. § 1.7) |
|
(σ − alg)[E] (alg)[E] Π[E] π[E] P′(P(E)); |
(2.2.2) |
стало быть, в качестве L может (согласно (2.2.2)) использоваться полуалгебра, алгебра или σ−алгебра п/м E. Сейчас, однако, нам достаточно предполагать (2.2.1). Пару (E, L) будем, по аналогии с конструкциями классической теории меры (см., например, [10, 12, 14], [3, 4, 32]), именовать ИП (точнее, ИП с «единицей» E). В этой связи см. также § 1.7. В качестве ФМ мы рассматриваем элементы множества
RL = {L −→ R}
81
всех в/з функций на L; см. § 1.7. Если µ RL, то (см. (2.2.1)) называем µ в/з к.-а. мерой на L, если
n |
|
|
||
∑i |
|
(2.2.3) |
||
µ(L) = µ(Li) L L n N (Li)i |
1.n |
|
∆n(L, L). |
|
=1 |
|
|
|
|
Само свойство (2.2.3) называем конечной аддитивностью ФМ µ. Располагая ИП (E, L), где L удовлетворяет (2.2.1), можно сконструировать различные ФМ со свойством (2.2.3), т. е. различные в/з к.-а. меры на L. В этой связи полагаем, что
|
i∑ |
|
|
n |
|
(add)[L] = {µ RL | µ(L) = µ(Li) L L n N |
|
|
|
=1 |
|
|
(Li)i 1,n ∆n(L, L)}, |
(2.2.4) |
получая множество всех в/з к.-а. мер на L. Из (1.5.10) и (2.2.4) сразу следует, что OL (add)[L]. Следовательно, (2.2.4) — непустое множество, «составленное» из в/з функций на L. Особый интерес представляют неотрицательные к.-а. меры;
|
|
(add)+[L] = {µ (add)[L] | 0 6 µ(L) L L} = {µ (add)[L] | OL 5 µ} |
|
|
(2.2.5) |
есть (см. (1.5.11)) множество всех неотрицательных в/з к.-а. мер на L; оно |
|
непусто, т. к. OL (add)+[L]. Полагаем далее, что |
|
|
(2.2.6) |
P(L) = {µ (add)+[L] | µ(E) = 1}; |
|
элементы P(L) (2.2.6) логично рассматривать как к.-а. вероятности, имея, однако, в виду то, что в случае L π[E] \ Π[E] возможны ощутимые патологии (см. [27, c. 91, 134]). Наконец, полагаем, что
|
(µ(L) = 0) (µ(L) = 1)}; |
(2.2.7) |
T(L) = {µ P(L) | L L |
элементы множества (2.2.7) будем называть к.-а. (0,1)-мерами, подразумевая их нормированность на «единице» E.
В связи с использованием знакопеременных к.-а. мер из множества (2.2.4) отметим важное понятие, связанное с ограниченностью полной вариации. Полагаем в дальнейшем, что
|
i∑ |
|
n |
A(L) = {µ (add)[L] | c [ 0, ∞[: |µ(Li)| 6 c |
|
|
=1 |
82
n N (Li)i |
|
∆n(E, L)}; |
(2.2.8) |
1,n |
элементы множества (2.2.8) именуем к.-а. мерами на L, имеющими огра-
ниченную вариацию. Если µ (add)+[L], L L, n N и (Li)i 1,n
∆n(L, L), то
n |
n |
|
∑ |
∑i |
(2.2.9) |
| µ(Li)| = |
µ(Li) = µ(L) |
|
i=1 |
=1 |
|
с учетом (2.2.4). Это означает в силу (2.2.5) и (2.2.8), что
(add)+[L] A(L). |
(2.2.10) |
С учетом (2.2.5) — (2.2.7) и (2.2.10) имеем следующую цепочку вложений
T(L) P(L) (add)+[L] A(L) (add)[L] RL; |
(2.2.11) |
эту цепочку интерпретируем как шкалу (используемых в дальнейшем) к.-а. мер на L. В связи с (2.2.8) имеем µ RL L L
(VAR)L[µ] = {ξ [ 0, ∞[ | n N (Li)i 1,n ∆n(L, L) : ξ =
n |
|
∑i |
|
= | µ(Li)|} P′( [ 0, ∞[) |
(2.2.12) |
=1 |
|
(отметим, что при µ RL и L L всегда |µ(L)| (VAR)L[µ]). В настоящий момент для нас существенно множество (2.2.12) при L = E. Из (2.2.8) и (2.2.12) следует, в частности, что µ A(L) c [ 0, ∞[:
(VAR)E[µ] P′([ 0, c]). |
(2.2.13) |
Разумеется (см. § 1.3), при µ A(L) имеем, в частности, свойство
(VAR)E[µ] BR↑ ;
поэтому корректно определяется значение
sup((VAR)E[µ]) R,
причем в силу (2.2.13) упомянутая точная верхняя грань неотрицательна (см. § 1.3). Итак,
|
(2.2.14) |
Vµ = sup((VAR)E[µ]) [ 0, ∞[ µ A(L); |
83
мы ввели понятие полной вариации для произвольной к.-а. меры из A(L). Из (2.2.9) и (2.2.12) имеем при µ (add)+[L] и L L, что
(VAR)L[µ] = {µ(L)}; |
(2.2.15) |
в частности, (2.2.15) можно использовать при L = E. Поэтому (см. (2.2.14))
Vµ = µ(E) µ (add)+[L] |
(2.2.16) |
(учтено (2.2.11), (2.2.14)). Итак, для неотрицательной к.-а. меры полная вариация совпадает со значением этой меры в «точке» E; см. (2.2.16). Из (2.2.6), (2.2.11) вытекает, в частности, что
Vµ = 1 µ P(L). |
(2.2.17) |
В свою очередь, из (2.2.7), (2.2.11) и (2.2.17) получаем, что
Vµ = 1 µ T(L). |
(2.2.18) |
Если µ = OL, то в силу (2.2.16) Vµ = 0; см. также (2.2.10). Отметим, что множества (2.2.12) при L ≠ E нам потребуется при рассмотрении ИП с полуалгеброй множеств.
Мы откладываем рассмотрение примеров к.-а. мер с тем, чтобы дать эти примеры в сравнении со с.-а. мерами. Последние рассматриваются в следующем параграфе. Отметим сейчас одно простое следствие (2.2.4):
|
µ( ) = 0 µ (add)[L]. |
(2.2.19) |
||
|
|
|
|
|
В самом деле, конструируем (Li)i |
|
∆2( , L) по правилу |
L1 = и |
|
1,2 |
||||
|
(add)[L] |
|
||
L2 = ; тогда при µ |
|
|||
2 |
|
|
|
|
µ( ) = ∑µ(Li) = µ(L1) + µ(L2) = µ( ) + µ( ), |
|
|||
i=1
откуда следует равенство µ( ) = 0.
84
§2.3. Счетно-аддитивные меры на мультипликативном семействе с «нулем» и «единицей»
Мы сохраняем предположение (2.2.1), где E — произвольное фиксированное множество. Сейчас рассмотрим свойство ФМ, более сильное в сравнении с конечной аддитивностью. Упомянутое более сильное свойство широко используется в классической теории меры.
Функцию µ RL условимся называть (знакопеременной) в/з счетноаддитивной (с.-а.) мерой на L, если (см.(1.4.8))
(∑n )
µ(Li) |
n |
−→ µ(L) L L (Li)i N ∆∞[L; L]. |
(2.3.1) |
|
|
N |
|
i=1
Итак, в (2.3.1) мы снова рассматриваем в/з ФМ. Заметим, что свойство сходимости в (2.3.1) часто изображается в виде
∞ |
|
∑i |
(2.3.2) |
µ(L) = µ(Li), |
|
=1 |
|
а сам факт представления L в виде дизъюнктной суммы множеств L1 L, L2 L, . . . часто записывают в виде символического равенства
∞
L = Li.
i=1
Мы сохраняем, однако, форму (2.3.1) по соображениям методического характера. Привлекаем также (2.3.2) для пояснений содержательного характера. При этом
|
∑ |
|
|
n |
|
(σ − add)[L] = |
{µ RL | (i=1 µ(Li))n N −→ µ(L) |
|
L L (Li)i N ∆∞[L; L]} |
(2.3.3) |
|
(как и в § 2.2, обозначения соответствуют [27, § 5]) есть множество всех в/з с.-а. мер на L. Как и в случае к.-а. мер, вводим «неотрицательную часть» множества (2.3.3), полагая
|
6 µ(L) L L} = |
(σ − add)+[L] = {µ (σ − add)[L] | 0 |
85
= {µ (σ − add)[L] | OL 5 µ}. |
(2.3.4) |
Отметим, что (см. (1.5.10)) OL (σ − add)+[L]; поэтому каждое из множеств (2.3.3), (2.3.4) непусто. В терминах (2.3.4) определяем множество
|
(2.3.5) |
Pσ(L) = {µ (σ − add)+[L] | µ(E) = 1}. |
Элементы множества (2.3.5) интерпретируем как с.-а. вероятности, хотя при L π[E] \ Π[E] возможны патологии, которые мы пока стараемся не замечать (если L Π[E], то термин с.-а. вероятность становится оправданным; однако наиболее совершенная конструкция такого рода отвечает случаю L (σ − alg)[E]; см. (2.2.2)). Наконец,
|
(µ(L) = 0) (µ(L) = 1)}; |
(2.3.6) |
Tσ(L) = {µ Pσ(L) | L L |
элементы µ множества (2.3.6) называем (0,1)-мерами, ограничивая свое рассмотрение случаем µ(E) = 1. По аналогии с (2.2.19) устанавливается, что
µ( ) = 0 µ (σ − add)[L]. |
(2.3.7) |
e
В самом деле, если ν (σ − add)[L], то для разбиения (Li)iN ∆∞[ ; L], определяемого условиями
L |
|
j |
N |
, |
fj |
= |
|
|
|
имеем в силу (2.3.3) свойство сходимости |
|
|||
n |
e |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
(i=1 ν(Li))nN |
−→ ν( ); |
|||
( )
иными словами, nν( ) nN −→ ν( ). Однако |nν( ) − ν( )| = (n − 1)|ν( )| при n N . С учетом вышеупомянутой сходимости имеем при ε ] 0, ∞[,
что (n − 1)|ν( )| < ε для всех достаточно больших n N . Точнее, ε
] 0 |
|
∞ |
[ |
|
|
|
−−→ |
|
− |
| |
| |
|
−−−→ |
|
Последнее возможно |
||
|
, |
|
N |
2, |
∞ |
: (n |
N, |
∞ |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1) ν( ) |
|
< ε n |
|
|
||||||
лишь при |ν( )| = 0; см. (1.3.3). Итак, (2.3.7) установлено.
Предложение 2.3.1. Справедливо вложение (σ − add)[L] (add)[L].
Доказательство. Пусть µ (σ − add)[L]. Выберем произвольно
Λ L, N N , (Λi)i |
|
∆N (Λ, L). |
(2.3.8) |
1,N |
86
Тогда (см. (1.4.9)) из (2.3.8) вытекает, что кортеж (Λi)i 1,N LN обладает свойствами
N |
|
|
= i 1, N |
|
j 1, N \ {i}). |
(2.3.9) |
|||||||||
(Λ = i=1 Λi)& (Λi ∩ Λj |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, что (см. (1.3.3)) справедливы следующие равенства |
|
|
|||||||||||||
|
|
, N |
N + 1, = |
|
& 1, N |
|
N + 1, = |
|
. |
|
|||||
( |
1 |
|
−−−−−−∞→ |
|
N ) |
( |
|
|
∩ −−−−−−∞→ |
) |
|
||||
С учетом этого полагаем (см. (2.2.1)), что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(Λi)iN LN |
|
|
|
|
|
|
(2.3.10) |
||||
|
|
|
|
|
Λ i , N |
|
|
j |
|
N + 1, ). |
|||||
определяется условиями: (Λi |
= e i |
|
|
|
) & (Λi = |
|
|
|
−−−−−−→ |
||||||
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
||||
Ясно, что объединение всех множеств последовательности (2.3.10) совпа- |
||||||||||||||||||||
дает с Λ : |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
(2.3.11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Λ = |
|
Λi; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
см. (2.3.9). Кроме того, из (2.3.9) имеем по определению |
(Λi)iN , что |
|||||||||||||||||||
Λ |
∩ |
Λ = |
|
p |
N |
q |
N \ { |
p |
} |
. В итоге (см. (1.4.8), (2.3.10), (2.3.11)) |
||||||||||
p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|||||||||
f |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем свойство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3.12) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Λi)iN ∆∞[Λ; L]. |
|
|
|
||||||||
Из (2.3.3), (2.3.8) и (2.3.12) |
|
имеем по выбору µ свойство сходимости |
||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
µ(Λi))mN −→ µ(Λ). |
|
|
(2.3.13) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(i=1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
µ |
(Λ ) = 0 |
j |
N + 1, . |
|
|
||||||||
При этом согласно (2.3.7) |
|
|
|
|
−−−−−−→ |
Последнее означает, |
||||||||||||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
∞ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
N + 1, |
|
|
|
|
|
|
|||||
что (см.(1.3.5), (1.3.20)) |
|
|
|
|
−−−−−−→ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
f |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
µ(Λi) = |
|
|
µ(Λi) = |
µ(Λi). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
i=1 |
|
e |
=1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∑i |
|
∑ |
|
∑i |
|
|
|
|
|||||||
Как следствие, из (2.3.13) получаем равенство |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ(Λ) = |
|
µ(Λi). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑i |
|
|
|
|
|
|
87
Поскольку выбор (2.3.8) был произвольным, установлено, что
n |
|
|
|
∑i |
|
|
|
µ(L) = µ(Li) L L n N |
(Li)i |
1,n |
∆n(L, L). |
=1 |
|
|
|
С учетом (2.3.4) имеем теперь включение µ (add)[L]. Коль скоро выбор µ был произвольным, предложение доказано. 2
Из предложения 2.3.1, (2.2.5) и (2.3.4) следует, что
(σ − add)+[L] (add)+[L]. |
(2.3.14) |
В свою очередь, из (2.2.6), (2.3.5) и (2.3.14) вытекает вложение
Pσ(L) P(L). |
(2.3.15) |
Наконец, из (2.2.7), (2.3.6) и (2.3.15) вытекает, что
Tσ(L) T(L). |
(2.3.16) |
Из (2.3.14) – (2.3.16) и предложения 2.3.1 следует, что соответствующие множества с.-а. мер следует рассматривать как п/м аналогичных множеств в пространстве к.-а. мер. На самом деле, в упомянутых соотношениях мы имеем чрезвычайно важные частные случаи мер, которые находят широкое применение в классической лебеговской теории меры. Полезно отметить и то обстоятельство, что в типичных случаях ИП (достаточно говорить об ИП с полуалгебрами множеств) у множеств с.-а. мер, упоминаемых в (2.3.14) – (2.3.16) (а, на самом деле, и у множества всех знакопеременных с.-а. мер ограниченной вариации), существуют своеобразные «антиподы» в виде множеств, составленных из так называемых чисто к.-а. (вполне к.-а.) мер. Это связано с так называемым разложением Хьюитта-Иосиды (см. [43]). Однако сейчас мы не будем их детально рассматривать, ограничиваясь краткими замечаниями и примерами. Это связано с тем, что нашей основной целью является реализация идеи интегрирования. Более общие конструкции к.-а. теории меры изложены в [10, гл. III, IV], [34]. Особо отметим оригинальные работы [40, 41]. Вопросы классической теории меры подробно изложены во многих монографиях и журнальных статьях. Сейчас отметим только [10,12,14], [3,4,23,32], а также оригинальные работы Лебега (см., например, [20]), которые определили принципиально новый взгляд на конструкции интегрирования, допускающие, в частности, интегрирование существенно разрывных функций. Большой вклад в построение классической теории меры внесли советские и российские математики;
88
сейчас особо отметим исследования А.Н. Колмогорова (см., в частности, [15,16]) и Н.Н. Лузина [21]. В частности, с именем А.Н. Колмогорова связано построение наиболее плодотворной аксиоматики теории вероятностей; см. в этой связи [16,23,32].
§2.4. Примеры
Внастоящем разделе мы рассматриваем только самые простые иллюстративные примеры к.-а. и с.-а. мер. Анализ этих примеров не требует знания каких-либо специальных конструкций теории меры.
Рассмотрим сначала простейшую с.-а. меру, а именно: меру Дирака, сосредоточенную в фиксированной точке множества E. Итак, пусть x E, ФМ
δx : P(E) −→ {0; 1} |
|
(2.4.1) |
||
определяется условиями: если H P(E), то |
) |
). |
||
( |
) |
( |
||
((x H) = δx(H) = |
1 |
)& ((x ̸ H) = δx(H) = |
0 |
|
Здесь в обозначении ФМ (2.4.1) мы не использовали параметр E (от него зависит область определения упомянутой ФМ) по одной только причине, оговоренной в § 2.2 : в настоящей главе множество E предполагается зафиксированным. В согласии с (1.1.25) и (1.1.26) получаем тогда, что ФМ
(δx | L) : L −→ {0; 1} |
(2.4.2) |
обладает следующими свойствами: если L L, то (δx | L)(L) = 1 при x L и (δx | L)(L) = 0 при x / L. Вполне очевидно следующее
Предложение 2.4.1. Справедливо включение (δx | L) Tσ(L).
Доказательство. Отметим сразу, что (δx | L)(E) = 1. Выберем произвольно L L и (Li)iN ∆∞[L; L]. Тогда L есть объединение всех
множеств Li, i N ; кроме того, Li1 ∩ Li2 = при i1 N, i2 N \ {i1}. Возможен один из следующих двух случаев:
(x L) (x / L). |
(2.4.3) |
|||||||
1) Пусть x L. Тогда (δx | L)(L) = |
1 и, кроме того, !i N : x Li. |
|||||||
Пусть n N таково, что x Ln. При этом, конечно, x / Lj |
j N \ {n}. |
|||||||
Разумеется, |
|
|
|
|
−−→ |
|
|
|
n 1, k |
k |
|
. |
|
||||
|
|
|
|
n, |
∞ |
|
||
|
|
|
|
|||||
89