elemen_teorija
.pdfВозвращаясь к ТП, имеем, в частности, из (1.7.30) следующее важное понятие : если τ (top)[X], то
CX [τ] = {X \ G : G τ} P′(P(X)) |
(1.7.32) |
есть семейство всех замкнутых в ТП (X, τ) п/м X. С учетом (1.1.6) и (1.7.32) имеем также, что
CX [τ] = {F P(X) | X \ F τ} τ (top)[X].
Отметим, наконец, важное свойство: если τ (top)[X] и A P(X), то (см. (1.1.38))
( [ ] ) ( [ ] ) cl(A, τ) CX [τ] (A) & cl(A, τ) F F CX [τ] (A) ;
иными словами, cl(A, τ) есть наименьшее по вложению замкнутое п/м X, еще содержащее A. Из вышеупомянутых положений следует, что при всяком выборе τ (top)[X] оператор
A 7−→cl(A, τ) : P(X) −→ P(X)
замыкания в ТП (X, τ) обладает следующими свойствами:
1) cl(A B, τ) = cl(A, τ) cl(B, τ) A P(X) B P(X);
2)S cl(S, τ) S P(X);
3)cl(cl(H, τ), τ) = cl(H, τ) H P(X);
4)(cl( , τ) = ) & (cl(X, τ) = X).
Следует отметить, что один из создателей топологии К. Куратовский при построении ее основных конструкций в качестве базового использовал именно оператор замыкания.
Полагаем до конца настоящего параграфа, что X — непустое множество, т. е.
X ≠ .
Напомним, что очень часто топология множества X задается с помощью метрики. Несколько более общим является понятие псевдометрики. Как метрику, так и псевдометрику можно задавать по-разному. Поэтому имеет смысл говорить о множестве всех псевдометрик X и о множестве всех
метрик X. Используем при этом соглашение (1.1.36); тогда
{ ( )
X×X
(p − Dist)[X] = ρ [ 0, ∞[ | ρ(x, x) = 0 x X &
70
( )
& ρ(x1, x2) = ρ(x2, x1) x1 X x2 X &
( )}
& ρ(x1, x3) 6 ρ(x1, x2) + ρ(x2, x3) x1 X x2 X x3 X
есть множество всех псевдометрик X. Если ρ (p−Dist)[X], то пару (X, ρ) называют псевдометрическим пространством. Метрика множества X есть
частный случай псевдометрики;
{
(Dist)[X] = ρ (p − Dist)[X] | x1 X x2 X
( |
( |
ρ(x1, x2) = 0 = x1 = x2 |
) |
)} |
|
) ( |
|
есть множество всех метрик X. Итак, если ρ (p − Dist)[X] (т. е. ρ есть псевдометрика X), то
ρ : X × X −→ [ 0, ∞[; |
(1.7.33) |
в частности, (1.7.33) имеет место в случае, когда ρ есть метрика X. Если
ρ (p − Dist)[X] и ε ] 0, ∞[, то
o |
|
(1.7.34) |
Bρ(x, ε) = {y X | ρ(x, y) < ε}. |
||
Заметим, что указывать множество X в левой части (1.7.34) нет никакой необходимости потому, что (см. (1.7.33))
Dom(ρ) = X × X |
(1.7.35) |
в силу (1.1.20) и, как следствие, справедливо равенство
X = {pr1(z) : z Dom(ρ)}. |
(1.7.36) |
В (1.7.34) определен открытый шар радиуса ε, ε > 0, в псевдометрическом пространстве (X, ρ), имеющий своим центром точку x. Тогда, как легко видеть,
|
o |
|
|
τρ |
= {G P(X) | x G ε ] 0, ∞[: Bρ(x, ε) G} |
|
|
|
(top)[X] |
ρ (p − Dist)[X]. |
(1.7.37) |
(как и в (1.7.34), мы можем обойтись без упоминания о X в левой части (1.7.37), используя выражение τρ для обозначения топологии X; см. в этой связи (1.7.35), (1.7.36)). Итак, в (1.7.37) определена, для всякой псевдометрики множества X, топология, порожденная данной псевдометрикой;
71
будем называть ее псевдометрической топологией X. Для построения τρ можно, конечно, использовать в качестве ρ и метрику. Более того, в этом и только в этом случае по правилу (1.7.37) конструируется хаусдорфова топология X :
(Dist)[X] = {ρ (p − Dist)[X] | τρ (top)o[X]}. |
(1.7.38) |
Как обычно, ТП (X, τ) называем метризуемым (псевдометризуемым), если для некоторой метрики (псевдометрики) ρ (Dist)[X] ρ (p − Dist)[X]
имеет место равенство |
τ = τ . |
Из (1.7.38) следует, в |
частности, что каждое |
|
ρ |
( |
) |
||
метризуемое ТП является хаусдорфовым. Заметим, что открытые шары вида (1.7.34) составляют базу псевдометризуемого (или метризуемого в зависимости от того, является ли ρ псевдометрикой или метрикой) ТП, но мы не будем здесь углубляться в конструкции общей топологии, ограничиваясь сведениями, важными для дальнейших построений. В этой связи заметим известное [1, 13, 33] свойство совпадения замыкания и секвенциального замыкания в псевдометризуемом ТП: если ρ (p − Dist)[X] и
A P(X), то
cl(A, τρ) = {x X | Bρo(x, ε) ∩ A ̸= ε ] 0, ∞[} = |
|
= {x X | (ai)i N AN : (ρ(ai, x))i N −→ 0} |
(1.7.39) |
(в (1.7.39) следует учитывать очевидное вложение AN XN , вытекающее из (1.1.35)). Сейчас мы рассмотрим одну простую модификацию теоремы [10, c. 35] (имеется в виду принцип продолжения по непрерывности в [10, c. 35]). Для этого сначала введем вспомогательное обозначение: если
τ (top)[X], то
|
(1.7.40) |
(τ − dens)[X] = {Y P(X) | cl(Y, τ) = X}; |
из свойства 4) оператора замыкания и непустоты множества X легко следует (см. (1.7.40)), что
(τ − dens)[X] P′(X).
Предложение 1.7.1. Если ρ (p − Dist)[X], Y (τρ − dens)[X], f RY
и a [ 0, ∞[, то
( ) (
|f(y1) − f(y2)| 6 aρ(y1, y2) y1 Y y2 Y = !g RX :
72
( ) )
f = (g | Y ) & (|g(x1) −g(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X) . (1.7.41)
Доказательство. Пусть истинна посылка доказываемой импликации
(1.7.41). Напомним, что в силу (1.7.39) и (1.7.40) |
|
x X (yi)iN Y N : (ρ(x, yi))iN −→ 0. |
(1.7.42) |
С учетом (1.7.42) мы установим сейчас следующее положение; а именно, покажем, что
( |
|
x X !ξ R (yi)iN Y N |
|
|
(1.7.43) |
|||||||||
ρ(x, yi) |
iN |
−→ 0)= |
( |
f(yi) |
iN −→ ξ). |
|
||||||||
|
( |
|
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
В самом деле, пусть |
x |
|
X. |
С учетом (1.7.42) подберем |
(x ) |
iN |
Y N |
так, |
||||||
|
|
i |
|
|
||||||||||
что |
|
|
|
ρ(x , xi ) i |
−→ 0. |
|
|
|
(1.7.44) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
С учетом (1.7.44) и |
неравенства треугольника получаем, что при p |
|
|
|||||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q N
ρ(xp , xq) 6 ρ(xp , x ) + ρ(x , xq) = ρ(x , xp) + ρ(x , xq);
с другой стороны, по предположению об истинности посылки доказываемой импликации (1.7.41) имеем неравенство
|f(xp) − f(xq)| 6 aρ(xp , xq).
Из двух последних соотношений имеем с учетом (1.3.19) и (1.7.44), что
( )
f(xi ) iN (FUND)[R].
()
Сучетом (1.3.19) имеем: f(xi ) iN (LIM)[R]; используя (1.3.7), подберем
ξ R так, что
Пусть теперь (yi )iN
(f(xi ))iN −→ ξ . |
(1.7.45) |
Y N также обладает свойством сходимости
(ρ(x , yi ))iN −→ 0. |
(1.7.46) |
Сравним (1.7.44) и (1.7.46). В силу неравенства треугольника имеем при i N
ρ(xi , yi ) 6 ρ(xi , x ) + ρ(x , yi ) = ρ(x , xi ) + ρ(x , yi ) |
(1.7.47) |
73
и, кроме того, |
|
f(x ) |
− |
f(y ) |
| |
6 |
aρ(x , y ). |
С учетом (1.7.44), (1.7.46) и |
|||||||||||||
| |
|
i |
|
|
i |
|
|
i |
|
|
i |
||||||||||
(1.7.47) получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−→ |
|
|||||||
ε |
|
] 0, |
|
[ m |
|
|
|
: |
f(xi ) |
|
|
f(yi ) |
< ε i |
. |
|||||||
∞ N | |
|
− |
|
|
| |
|
m, |
∞ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Иными словами, |
f(y ) |
− |
f(x ) |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
димость |
|
|
( |
|
|
i |
|
|
i |
)iN −→ |
|
|
С учетом (1.7.45) получаем схо- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(yi ) iN −→ ξ . |
|
|
|
|
||||||||
Итак, (см. (1.7.46)) |
установлена следующая импликация |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
( |
|
|
) |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|||||
( |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ρ(x , yi ) iN −→ 0)= ( |
|
f(yi ) iN −→ ξ ). |
|
|
||||||||||||||||
Поскольку последовательность (yi )iN новлено, что (yi)iN Y N
( |
( |
) |
|
ρ(x , yi) iN −→ 0)= |
выбиралась произвольно, то уста-
( |
( |
) |
|
|
f(yi) iN −→ ξ ). |
(1.7.48) |
В (1.7.48) определено фактически требуемое свойство числа ξ . Очевидна единственность числа со свойством (1.7.48). В самом деле, пусть ζ R таково, что (yi)iN Y N
( |
( |
) |
( |
( ) |
|
ρ(x , yi) iN −→ 0)= |
f(yi) iN −→ ζ ). |
Тогда, в частности, имеем из (1.7.44), (1.7.45) и последнего соотношения,что
( |
( |
) |
( |
( ) |
|
f(xi ) iN −→ ξ )& |
f(xi ) iN −→ ζ ). |
Тогда ξ = ζ ; см. (1.3.7), (1.3.10). Мы установили (см. (1.7.47)), что !ξ
R (yi)iN Y N |
) |
|
( |
) |
|
( |
( |
( |
|||
|
ρ(x , yi) iN −→ 0)= |
|
f(yi) iN −→ ξ). |
||
Поскольку x было выбрано произвольно, свойство (1.7.43) установлено. Теперь воспользуемся свойством (1.1.34). В самом деле, сохраняя прежнее предположение относительно X, отождествляем в (1.1.34) Y и R; полагаем также сейчас
Z = {z X × R | (yi)iN Y N |
(((ρ(pr1(z), yi))iN −→ 0)= |
|
(( ) |
) |
} |
= f(yi) iN −→ pr2(z) |
) . |
|
74
Свойство (1.7.43), установленное ранее, означает, что x X !ξ R : (x, ξ) Z. С учетом (1.1.34) получаем теперь, что
!g RX : |
(x, g(x)) Z x X. |
(1.7.49) |
e |
e |
|
Пусть (см. (1.7.49) теперь g RX обладает свойством
()
x, g(x) Z x X.
Тогда в согласии с определением Z имеем, что x X (yi)iN Y N
( |
( |
) |
( |
( ) |
|
|
ρ(x, yi) iN −→ 0)= |
f(yi) iN −→ g(x)). |
(1.7.50) |
Отметим, кроме того, суждение в (1.7.49), касающееся свойства единственности: ge RX
((x, ge(x)) Z x X)= (ge = g). |
(1.7.51) |
Фиксируем y Y. Поскольку, в частности, y X, то из (1.7.50) имеем, что (yi)iN Y N
|
( |
( |
|
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
ρ(y , yi) iN −→ 0)= ( |
f(yi) iN −→ g(y )). |
(1.7.52) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем (yi )iN Y N по следующему очевидному правилу: yj = y j N . |
|||||||||||
Тогда |
ρ(y , y ) = 0 |
при |
j |
N |
, |
а, стало быть, истинна посылка имплика- |
|||||
|
|
j |
|
|
|||||||
ции (1.7.52) в условиях, когда (yi)iN |
= (yi )iN . Тогда из (1.7.52) имеем |
||||||||||
сходимость
(1.7.53)
Однако f(yj ) = f(y ) при всяком выборе j N , а потому согласно (1.7.53) имеем для любого ε ] 0, ∞[ неравенство
|f(y ) − g(y )| < ε.
Следовательно, |f(y ) − g(y )| = 0 и f(y ) = g(y ). Коль скоро выбор y был произвольным, установлено, что
f(y) = g(y) y Y. |
(1.7.54) |
Из (1.1.26) и (1.7.54) легко следует, что
f(y) = (g | Y )(y) y Y. |
(1.7.55) |
75
Коль скоро f RY и (g | Y ) RY , имеем из (1.1.23) и (1.7.55) равенство
f = (g | Y ). |
(1.7.56) |
Выберем произвольно u X и v X; рассмотрим число
δ = | g(u) − g(v) | [ 0, ∞[.
С учетом (1.7.39) и (1.7.40) подберем последовательности
( ) ( )
(uj)jN Y N & (vj)jN Y N ,
для которых имеют место следующие два свойства сходимости:
()
ρ(u, uj) |
j |
−→ 0, |
(1.7.57) |
|
|
N |
|
()
ρ(v, vj) |
j |
−→ 0; |
(1.7.58) |
|
|
N |
|
мы учитываем в (1.7.57), (1.7.58) определение псевдометрики и ее простейшие свойства (у нас было введено ранее множество всех псевдометрик множества X). Из (1.7.50), (1.7.57) и (1.7.58) получаем немедленно:
()
f(uj) |
j |
−→ g(u), |
(1.7.59) |
|
|
N |
|
()
f(vj) |
j |
−→ g(v). |
(1.7.60) |
|
|
N |
|
Вместе с тем из определения δ следует по неравенству треугольника, что
j N
δ 6 | g(u) − f(uj)| + |f(uj) − g(v)| 6 |f(uj) − g(u)| + |f(uj) − f(vj)|+
+|f(vj) − g(v)| 6 aρ(uj, vj) + |f(uj) − g(u)| + |f(vj) − g(v)|. |
(1.7.61) |
||||||
Кроме того, по неравенству треугольника имеем при j N , что |
|
||||||
ρ(uj, vj) 6 ρ(uj, u) + ρ(u, vj) 6 ρ(u, uj) + ρ(u, v) + ρ(v, vj). |
|
||||||
С учетом (1.7.61) получаем теперь, что |
|
|
|
|
|
||
δ 6 aρ(u, v)+ a |
·( |
ρ(u, uj)+ρ(v, vj) + f(uj) |
− |
g(u) + f(vj) |
− |
g(v) |
j N . |
( |
) | |
| | |
|) |
(1.7.62) |
|||
76
Пусть εo ] 0, ∞[. Тогда, как следствие, имеем, что
εo |
] 0, ∞[. |
1 + a |
С учетом (1.7.57) — (1.7.60) и свойств, отмеченных в § 1.3, получаем, что
−−→
при некотором выборе n N имеют место для всякого j n, ∞ следующие неравенства
|
εo |
|
εo |
||
(ρ(u, uj) < |
8(1+a) |
)& |
(ρ(v, vj) < |
8(1+a) |
)& |
( ) ( )
& |f(uj) − g(u)| < ε8o & |f(vj) − g(v)| < ε8o ;
в частности, эти неравенства выполнены при j = n, а тогда в силу (1.7.62) получаем оценку
δ 6 aρ(u, v) + ((ε8o + ε8o )+ε8o + ε8o )= aρ(u, v) + ε2o < aρ(u, v) + εo.
Итак, установлено, что δ < aρ(u, v) + ε ε ] 0, ∞[. Как следствие
δ − aρ(u, v) < ε ε ] 0, ∞[.
Последнее означает, что (см. § 1.3) выполнено неравенство δ − aρ(u, v) 6 6 0, т. е. δ 6 aρ(u, v). С учетом определения δ имеем теперь неравенство
|
| g(u) − g(v)| 6 aρ(u, v). |
|
Поскольку выбор u и v был произвольным, установлено, что |
|
|
| g(x1) − g(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X. |
(1.7.63) |
|
Из (1.7.56) и (1.7.63) вытекает, что |
) |
|
( |
) ( |
|
g RX : f = (g | Y ) & | g(x1)−g(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X .
(1.7.64) Проверим теперь свойство единственности. В самом деле, пусть h RX
есть такая функция, что
( ) ( )
f = (h | Y ) & | h(x1)−h(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X . (1.7.65)
Из сопоставления (1.7.64) и (1.7.65) вытекает, что
(g | Y ) = (h | Y ).
77
Это означает, что (см. (1.1.26)) имеет место следующая система равенств
g(y) = h(y) y Y. |
(1.7.66) |
Выберем произвольно xo X, после чего подберем с учетом (1.7.42) последовательность
( |
) |
|
(yio)iN : N −→ Y, |
|
o |
o |
o o |
||
для которой |
ρ(xo, yio) |
i |
−→ 0. |
Из (1.7.64) имеем (поскольку Y X), что |
N
| g(x ) − g(yi )| 6 aρ(x , yi ) i N .
Далее, из (1.7.65) мы получаем также, что
| h(xo) − h(yio| 6 aρ(xo, yio) i N .
Поэтому имеем с учетом неравенства треугольника, что
| g(xo) − h(xo)| 6 | g(xo) − g(yio)| + | g(yio) − h(xo)| i N .
Однако в силу (1.7.66) имеем, что g(yio) = h(yio) при i N . Поэтому
| g(xo)−h(xo)| 6 aρ(xo, yio)+| h(yio)−h(xo)| = aρ(xo, yio)+|h(xo)−h(yio)| 6
6 2aρ(xo, yio) i N .
Из последнего соотношения имеем по выбору (yio)iN , что ε ] 0, ∞[
| g(xo) − h(xo)| < ε.
Поэтому | g(xo) − h(xo)| = 0 и, как следствие, g(xo) = h(xo). Поскольку выбор xo был произвольным, установлено (см. (1.1.23)) равенство g = h. Итак (см. (1.7.65)), истинна импликация
|
|
( |
( |
) |
|
|
|
f = (h | Y ) & (| h(x1) − h(x2)| 6 |
|
|
|
6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X))= (g = h). |
||
Поскольку и выбор h был произвольным, установлено, что h RX |
||||
( |
( |
f = (h | Y ) & (| h(x1) − h(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X))= |
||
|
) |
|
|
|
= (g = h).
78
С учетом (1.7.64) получаем теперь следствие импликации (1.7.41), т. е.
( ) ( )
!g RX : f = (g | Y ) & |g(x1)−g(x2)| 6 aρ(x1, x2) x1 X x2 X .
Импликация (1.7.41) установлена, чем и завершается доказательство. 2 Отметим, что неравенства, используемые в (1.7.41) называют также условиями Липшица; само предложение 1.7.1 можно, стало быть, толковать как своеобразное продолжение «по липшицевости», имея в виду аналогию
с принципом продолжения по непрерывности в [10, c. 35].
79