elemen_teorija
.pdf§5.4. Переходная вероятность
Внастоящем параграфе мы рассматриваем одно из важнейших понятий современной теории вероятностей. Речь пойдет о так называемой переходной вероятности; см. [23, гл. III]. Данное понятие будем рассматривать в его классической версии, привлекая, однако, при исследовании основных свойств конструкции, связанные с ЯИ. Получаемые впоследствии результаты допускают естественные аналогии с построениями предыдущего параграфа (см., в частности, теорему 5.3.1). Упомянутые результаты будут, однако, относиться к весьма обширному пространству, что будет достигаться за счет использования достаточно «богатой множествами» структуры в виде σ−алгебры, порожденной полуалгеброй измеримых прямоугольников.
Всюду в дальнейшем фиксируем непустые множества X и Y (см. (5.3.1)). Полагаем, кроме того, что X и Y являются σ−алгебрами п/м X и Y соответственно: постулируем до конца настоящей главы, что
(X (σ − alg)[X])& (Y (σ − alg)[Y ]). |
(5.4.1) |
Разумеется, (5.3.3) есть ИП с полуалгеброй множеств. Через A обозначаем алгебру п/м X × Y, порожденную полуалгеброй X{×}Y, т. е.
o |
(X{×}Y) (alg)[X × Y ]. |
(5.4.2) |
A = aX×Y |
Введем, кроме того, σ−алгебру X Y, порожденную полуалгеброй X{×}Y; тогда (см. [27, c. 124])
X Y = σXo ×Y (X{×}Y) = σXo ×Y (A) (σ − alg)[X × Y ]. |
|
(5.4.3) |
||||||
Итак, мы получили стандартное ИП |
|
|
|
|
|
|
|
|
(X × Y, X Y), |
(X, |
X |
) |
и |
(Y, |
Y |
); |
см. |
рассматриваемое как произведение стандартных ИП |
|
|
|
|
||||
(5.4.1). В связи с (5.4.3) напомним важное представление в терминах монотонного семейства (класса), порожденного алгеброй A (5.4.2).
Для этого в согласии с обозначениями § 1.7 и |
[27, § 3] отметим, что |
|
(MO)[X × Y ] есть множество всех семейств M P P(X × Y ) , для каж- |
||
дого из которых (Mi)i N MN M P(X × Y ) |
( |
) |
()
(Mi)i N ↓↑ M = (M M).
340
Кроме того, имеем, как и в [27, c. 111], что (см. § 1.7) |
) |
( |
(MO)[X × Y | H] = {M (MO)[X × Y ]| H M} H P P(X × Y ) ;
(5.4.4) каждое из семейств в левой части (5.4.4) непусто и можно рассматривать пересечение всех множеств (они также являются семействами) из соответствующего семейства (5.4.4). В согласии с [27, c. 111] имеем (см. § 1.7)
mXo |
M |
∩ × | H |
( |
) |
×Y (H) = |
|
M (MO)[X × Y | H] H P P(X × Y ) ; |
||
|
|
(MO)[X Y |
] |
|
(5.4.5) в (5.4.5) рассматривается понятие монотонного семейства (класса), порожденного произвольным семейством п/м X × Y. В силу (5.4.2) и построений
§ 1.7 имеем, что |
X Y = mXo ×Y (A). |
(5.4.6) |
Из (5.4.5) и (5.4.6) вытекает, что |
|
|
|
X Y M M (MO)[X × Y | A]. |
(5.4.7) |
Более подробные сведения относительно монотонных семейств и их использование в конструкциях типа (5.4.6), (5.4.7) см. в § 1.7.
Всюду в последующем изложении настоящей главы фиксируем, если не оговорено противное, отображение
ν : X × Y −→ [ 0, 1], |
(5.4.8) |
для которого выполнены следующие условия: |
|
(ν(x, ·) Pσ(Y) x X)& (ν(·, S) B(X, X) S Y). |
(5.4.9) |
Функцию ν (5.4.8), (5.4.9) называем в дальнейшем переходной вероятностью (ПВ), что согласуется с традицией (см. [23, гл. III]).
Отметим, что, следуя правилу, предложенному в § 5.3, мы можем ввести µ ν, после чего реализовать конструкцию, приводящую к теореме 5.3.1. Данную детализацию построений § 5.3 предоставляем читателю; сейчас рассмотрим несколько иную схему, подобную идейно [23, гл. III]. Будем использовать (5.2.35), (5.2.36).
Предложение 5.4.1. Если F X Y и x X, то F x Y.
341
Доказательство. Если L X{×}Y и x X, то L x Y в силу (5.3.7). Пусть
|
(5.4.10) |
T = {H P(X × Y )| H x Y x X}. |
|
Тогда X{×}Y T . В частности, = × T и X × Y T . Если T1 T |
|
и T2 T , то в силу (5.2.36) |
|
(T1 ∩ T2) x = T1 x ∩ T2 x Y x X; |
|
поэтому (см. (5.4.10)) T1 ∩ T2 T . Итак, |
(5.4.11) |
T π[X × Y ]. |
|
Если T T , то согласно (5.4.1) имеем:
()
(X × Y ) \ T x = Y \ T x Y x X;
следовательно, (X × Y ) \ T T . С учетом (1.7.4) и (5.4.11) имеем свойство
|
|
T (alg)[X × Y ]. |
(5.4.12) |
Если (Γi)iN |
: N → T , то согласно (5.2.36), (5.4.1) и (5.4.10) имеем |
||
( |
) |
|
|
Γi |
x = |
Γi x Y x X; стало быть, имеет место свойство |
|
iN |
|
iN |
|
Γi T .
iN
С учетом (1.7.5) и (5.4.12) получаем положение
T(σ − alg)[X × Y ].
Всилу (1.7.13) имеем теперь включение
T(σ − alg)[X × Y | X{×}Y],
атогда из (1.7.14) и (5.4.3) вытекает вложение
X |
|
Y T . |
|
|
|
|
|
|
С учетом (5.4.10) получаем при F |
|
нужное свойство: |
F |
x |
Y |
x |
|
|
X. |
X Y |
|
2 |
|
|
|||
С учетом (5.4.8) и предложения 5.4.1 имеем при всяком выборе F
XY функцию
x 7−→ν(x, F x ) : X −→ [ 0, 1]. |
(5.4.13) |
Всюду в дальнейшем принимаем следующее соглашение: если F X Y, то ν(·, F · ) есть def отображение (5.4.13). Итак, всюду в дальнейшем
( |
) |
Y. |
(5.4.14) |
ν(·, F · ) = |
ν(x, F x ) x X F X |
342
Предложение 5.4.2. Если F X Y, то ν(·, F · ) B(˜ |
X) |
˜ |
|
|
X, |
|
. |
Доказательство. Если L X{×}Y, то для некоторых A X и B Y |
|||
˜ |
˜ |
|
|
имеем L = A |
× B (см. (5.2.1)), а тогда |
|
|
˜
ν(·, L · ) = ν(·, B)χ ~[X] B(X, X);
A
см. в этой связи (5.3.8). Итак, установлено, что
ν(·, L · ) B(X, X) L X{×}Y.
Пусть A A; тогда с учетом (1.7.9) и (5.4.2) для некоторого N N
∆N (A, X{×}Y) ≠ .
Выберем произвольно (Li)i 1,N ∆N (A, X{×}Y). Тогда с учетом (1.7.2) и (5.2.36) имеем
(Li x )i |
|
∆N (A x , Y) |
x X. |
(5.4.15) |
||
1,N |
||||||
Как следствие, имеем из (5.4.15) следующую систему равенств |
|
|||||
|
|
|
N |
|
|
|
ν(x, A x ) = |
∑i |
|
|
|
||
ν(x, Li x ) x X. |
|
|||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
Иными словами, справедливо равенство функций |
|
|||||
|
|
|
|
N |
|
|
ν(·, A · ) = |
∑i |
· ), |
(5.4.16) |
|||
ν(·, Li |
||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
где ν(·, Lj · ) B(X, X) j 1, N. С учетом предложения 2.7.6 и (5.4.16) получаем свойство
|
ν(·, A · ) B(X, X). |
|
|
Поскольку выбор A был произвольным, установлено, что |
|
||
|
ν(·, S · ) B(X, X) S A. |
|
(5.4.17) |
Введем в рассмотрение следующее семейство |
} |
|
|
G = |
{ |
(5.4.18) |
|
H X Y| ν(·, H · ) B(X, X) |
. |
||
Тогда в силу (5.4.17), (5.4.18) имеем вложение |
|
|
|
|
A G. |
|
(5.4.19) |
В частности, из (5.4.2), (5.4.18) и (5.4.19) имеем, что |
|
|
|
343
Как следствие, G P |
′ |
(P |
(X |
GY )P. |
′(X Y). |
|
|
|
|
× |
) |
Покажем, что |
(5.4.20) |
||
|
|
|
|
G (MO)[X × Y ]. |
|||
В самом деле, пусть выбрана произвольная последовательность |
|
||||||
|
|
|
|
|
(Gi)iN GN |
(5.4.21) |
|
и множество G P(X × Y ), для которых имеет место сходимость |
|
||||||
|
|
|
|
|
(Gi)iN ↓↑ G. |
(5.4.22) |
|
Тогда, в частности, имеем из (5.4.21), что |
|
||||||
|
|
(Gi)iN : N −→ X Y. |
(5.4.23) |
||||
Из (1.7.5), (5.4.22) и (5.4.23) вытекает, что непременно |
|
||||||
|
|
|
|
|
G X Y. |
(5.4.24) |
|
При этом в силу (5.4.23), (5.4.24) и предложения 5.4.1 имеем, что x X
|
(G x Y)& (Gj x Y j N ). |
|
|
При этом, конечно, имеем при x X последовательность |
|
||
|
(Gi x )iN : N −→ Y. |
(5.4.25) |
|
Отметим, что в силу (5.4.14), (5.4.23) и (5.4.24) определены функции |
|||
( |
) |
( |
) |
(ν(·, G · ) = ν(x, G x ) x X ) |
& (ν(·, Gj · ) = ν(x, Gj x x X j N ). |
||
Из (5.4.18) и (5.4.21) вытекает, что
( |
) |
(5.4.26) |
ν(·, Gi · ) |
iN : N −→ B(X, X). |
Выберем произвольно x X. Тогда в силу (5.4.9) имеем включение
()
|
ν(x , ·) = |
ν(x , B) BY Pσ(Y). |
(5.4.27) |
Кроме того, из (5.2.35) имеем, что |
) |
||
( |
) |
( |
|
|
G x = {y Y | (x , y) G} & Gj x = {y Y | (x , y) Gj} j N . |
||
|
|
|
(5.4.28) |
344
С учетом (5.2.36), (5.4.22) и (5.4.28) получаем, что справедливо (см. § 1.7)
(Gi x )iN ↓↑ G x . |
(5.4.29) |
Из (4.2.22), (5.4.27) и (5.4.29) вытекает, что
( |
) |
(5.4.30) |
ν(x , Gi x ) iN −→ ν(x , G x ). |
||
Коль скоро выбор x был произвольным, установлено, что |
|
|
( |
) |
(5.4.31) |
ν(x, Gi x ) |
iN −→ ν(x, G x ) x X. |
|
Итак, мы установили факт поточечной сходимости последовательности ограниченных измеримых функций; см. (5.4.26), (5.4.31). Теперь из предложения 2.8.1, теоремы 2.8.1, а также из (5.4.26), (5.4.31) получаем, что
ν(·, G·) (Meas)[X; X]. |
(5.4.32) |
Вместе с тем в силу (5.4.9) имеем цепочку неравенств
0 6 ν(x, G x ) 6 1 x X.
Поэтому ν(·, G·) B(X) и с учетом (5.4.32), а также теоремы 2.8.1
ν(·, G·) B(X, X),
что с учетом (5.4.18) и (5.4.24) означает справедливость включения G G (при условии (5.4.22)). Итак (см. (5.4.22)),
()
(Gi)iN ↓↑ G = (G G).
Поскольку (Gi)iN (5.4.21) и G выбирались произвольно, установлено (5.4.20). Из (5.4.19) и (5.4.20) следует, что
|
|
|
G (MO)[X × Y | A]. |
|
|
|||||||||
С учетом (5.4.7) имеем вложение X |
Y G |
, откуда в силу (5.4.18) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
G |
= |
|
|
|
|
|||||
и, как следствие, ν( , F |
|
|
|
|
|
X |
FY |
|
|
|
|
|||
· |
) |
|
B(X, |
X |
) |
|
Y |
. |
2 |
|||||
· |
|
|
|
|
|
X |
|
|
||||||
Итак, мы установили, что для |
F |
|
|
|
|
имеет место |
|
|||||||
|
|
X |
Y |
|
|
|
|
|||||||
F x Y x X;
при этом в/з функция ν(·, F ·), действующая из X в [ 0,1] по правилу
x 7−→ν(x, F x ) : X −→ [ 0, 1],
обладает свойством ярусности:
ν(·, F ·) B(X, X).
345
§5.5. Интегрирование переходной вероятности и представление математического ожидания
Фиксируем до конца настоящего раздела (наряду с ПВ ν) колмогоровскую вероятность на X :
µ Pσ(X). |
(5.5.1) |
Тогда в силу предложения 5.4.2 и определения ЯИ главы 3 определены значения
X |
X |
|
|
∫ |
ν(·, F · ) dµ = ∫ ν(x, F x ) µ(dx) R F X |
Y. |
|
Это позволяет ввести новую ФМ. Итак, пусть |
|
||
|
µ ν : X Y −→ R |
(5.5.2) |
|
определяется посредством следующего условия: если F X Y, то |
|||
|
(µ ν)(F ) = ∫ |
ν(·, F · ) dµ. |
(5.5.3) |
X
Свойства ФМ (5.5.2), (5.5.3) будут предметом нашего ближайшего рассмотрения. Отметим следующий известный [23, гл. III] факт.
Теорема 5.5.1. Функция (5.5.2), (5.5.3) |
есть колмогоровская вероятность |
|
на X Y : |
µ ν Pσ(X Y). |
|
Доказательство. С учетом (5.4.13) и предложения 5.4.2 имеем, что
ν(·, F · ) B+(X, X) F X Y.
Поэтому ФМ µ ν неотрицательна (см. (5.5.3)), т. е.
µ ν : X Y −→ [ 0, ∞[.
Далее, из (5.4.8), (5.4.9) имеем, что ν(x, Y ) = 1 x X. Тогда
ν(·, Y ) = χX [X].
При этом для всякого x X (X × Y ) x = Y и, следовательно,
()
νx, (X × Y ) x = ν(x, Y ) = 1.
346
В итоге, ν(·, (X × Y )·) = χX [X] и согласно (5.5.3)
(µ ν)(X × Y ) = µ(X) = 1.
Нам, следовательно, осталось установить свойство счетной аддитивности |
|||||||||||||||||
ФМ (5.5.2). Итак, пусть F X |
Y и |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(Fi)iN ∆∞[F ; X Y]. |
|
|
|
||||||||
Тогда (см. (1.4.8)) имеем для последовательности |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(Fi)iN : N −→ X Y |
|
|
|
|
|||||||
следующие естественные свойства |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||||||||
|
( |
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.5.4) |
|||
|
F = |
Fi |
& Fi1 ∩ Fi2 |
= i1 N i2 N \ {i1} . |
|
||||||||||||
|
|
iN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом предложения 5.4.1 имеем также x X |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
(F x Y)& (Fj x Y j N ). |
|
|
|||||||||||
Далее, из (5.2.36) и (5.5.4) получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
(Fi x )iN ∆∞[F x ; Y] |
x X. |
|
(5.5.5) |
||||||||||
Из (5.4.9) и (5.5.5) вытекают следующие свойства сходимости |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(i=1 ν(x, Fi x ) |
mN −→ ν(x, F x ). |
|
(5.5.6) |
||||||||||
Далее, из предложения 5.4.2 мы получаем, что |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(φ = ν(·, F ·) = (ν(x, F x ))x X B(X, X)) & |
|
|
|||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
N ) |
|
(5.5.7) |
& |
j m |
· |
j· |
|
( |
|
j |
x |
) x X |
B(X, |
X |
. |
|||||
|
φ |
= ν( , F |
|
|
) = ν x, F |
|
|
|
) j |
|
|||||||
При этом i=1 φi |
B(X, X) |
m N ; см. предложение 2.7.4. Из (5.5.6) и |
|||||||||||||||
(5.5.7) |
имеем свойства сходимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
m |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i=1 φi (x))mN −→ φ(x) |
x X. |
|
(5.5.8) |
|||||||||
347
При этом, однако, имеем также множества
m |
|
i |
|
|
(5.5.9) |
Φm[x] = Fi x Y m N x X, |
|
=1 |
|
здесь учтена аксиома алгебры множеств. Из (1.7.2), (5.5.5) и (5.5.9) вытекает, что
(Fi x )i 1,m ∆m(Φm[x], Y) m N x X.
С учетом (5.4.9) получаем теперь, что при m N и x X
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
∑ |
∑ |
|
|
|
|
ν(x, Φm[x]) = i=1 ν(x, Fi x ) = i=1 φi(x) = |
(i=1 φi)(x), |
|
|||||||
где ν(x, Φm[x]) 6 1. Следовательно, установлено, что |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 6 (i=1 φi)(x) 6 1 m N x X. |
|
|||||||
Из этого соотношения следует, в частности, что |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑i |
φi 6 1 |
m N . |
|
(5.5.10) |
||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
Из (5.5.1), (5.5.8) и (5.5.10) имеем по теореме 4.5.1, что |
|
||||||||||
|
|
|
(∫ |
m |
|
|
|
−→ ∫ φ dµ. |
|
||
|
|
|
i=1 φi dµ)m |
N |
(5.5.11) |
||||||
|
|
|
|
X |
(∑ |
) |
|
X |
|
|
|
Имеем, однако, из предложения 3.4.1, (5.5.3) и (5.5.7), что |
|
||||||||||
|
m |
) |
m |
|
|
m |
|
|
|
m |
|
X |
(∑ |
∑X |
|
|
∑X |
|
|
|
∑ |
|
|
∫ |
i=1 |
φi dµ = |
i=1 ∫ |
φi dµ = |
i=1 ∫ |
ν(·, Fi·) dµ = |
i=1 (µ ν)(Fi) m N ; |
||||
∫∫
φdµ = ν(·, F ·) dµ = (µ ν)(F ).
XX
Сучетом (5.5.11) получаем теперь следующее свойство сходимости
m |
|
∑ |
|
(i=1 (µ ν)(Fi))mN −→ (µ ν)(F ). |
(5.5.12) |
348
Поскольку F и (Fi)iN выбирались произвольно, то (см.§ 2.3) |
|
||||
|
|
|
µ ν (σ − add)[X Y]. |
2 |
|
Итак, мы располагаем теперь вероятностным пространством |
|
||||
|
|
|
(X × Y, X Y, µ ν); |
(5.5.13) |
|
это позволяет рассматривать интегралы |
|
|
|||
∫ |
f d(µ ν) = |
∫ |
f(x, y)(µ ν) d(x, y) R f B(X × Y, X Y). |
||
X×Y |
|
X×Y |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
(5.5.14) |
Разумеется, в (5.5.14) имеем математические ожидания ограниченных случайных величин. Наряду с (5.5.14) определены значения
∫ f d(µ ν) = ∫ f(x, y)(µ ν) d(x, y) R |
|
|||
F |
F |
( |
) |
|
|
|
Y) F X |
|
(5.5.15) |
|
f B(X × Y, X |
Y. |
||
Мы рассмотрим далее представление значений (5.5.14), (5.5.15) с использованием операции повторного интегрирования. Данная конструкция соответствует на идейном уровне построениям [23, гл. III], но отличается применением более простых конструкций интегрирования: имеется в виду ЯИ главы 3.
Предложение 5.5.1. Если x X, то справедливо следующее свойство
измеримости сечений ярусных функций:
f(x, ·) B(Y, Y) f B(X × Y, X Y).
Доказательство. Если F X Y, то согласно предложению 5.4.1
F x = {y Y | (x, y) F } Y;
при этом, как легко видеть,
|
|
|
|
|
|
χF [X × Y ](x, ·) = χF x [Y ] Bo(Y, Y). |
(5.5.16) |
|||||||
Если |
u |
|
B |
(X |
× |
Y, |
X Y |
), то для некоторых |
|
|||||
|
o |
|
|
n |
|
|
|
Y) |
||||||
|
|
|
n N , (αi)i |
|
R |
, (Fi)i |
|
∆n(X × Y, X |
||||||
|
|
|
1,n |
1,n |
||||||||||
349