elemen_teorija
.pdfВ этом случае (см. § 1.3) φ(x) < ε2 вопреки предположению. Следовательно, неравенство |f(x)| < ε невозможно, а потому ε 6 |f(x)|, чем и завершается обоснование импликации
( ) ( )
ε2 6 φ(x) = ε 6 |f(x)| .
С учетом (4.4.53) имеем требуемое свойство (4.4.52). С учетом (4.4.1) и (4.4.52) имеем: x E
( ) ( )
ε2 6 φ(x) ε 6 tft(x) .
Как следствие, получаем следующее равенство
{ } { } x E | ε2 6 φ(x) = φ−1([ ε2, ∞[) = x E | ε 6 tft(x)
Из (4.4.51) получаем теперь, что |
|
|
|
|
|
|
||
( |
) |
|
|
E |
|
|
E |
|
µ tft−1([ ε, ∞[) |
|
6 |
1 |
∫ |
φ dµ = |
1 |
∫ |
f2 dµ. |
|
ε2 |
ε2 |
||||||
= tft−1([ ε, ∞[).
2
Из предложения 4.4.8 легко извлекается более «привычный» (но все же к.-а. ) вариант неравенства Чебышева, который мы рассмотрим для полноты изложения.
Если L (σ − alg)[E], f B(E, L) и µ P(L), то функция
(∫ )
o |
|
f dµ · χE B(E, L) |
(4.4.54) |
cµ |
[f] = f − |
E
(центрированная версия f) удовлетворяет очевидно следующему известному в теории вероятностей правилу
cµo [f](x) = f(x) − ∫ |
f dµ x E. |
(4.4.55) |
E |
|
|
С операцией центрирования (4.4.54), (4.4.55) можно связать определение дисперсии f; функция f рассматривается при этом как (ограниченная) случайная величина. Для более краткой записи введем следующие обозначения: если L (σ − alg)[E], f B(E, L) и µ P(L), то
( |
E |
|
) ( |
E |
|
) |
Mµ [f] = |
∫ |
f dµ |
& |
Dµ [f] = ∫ |
cµo [f]2 dµ |
(4.4.56) |
220
(ввели математическое ожидание и дисперсию f; заметим, что включать E и L в число параметров выражений в левых частях (4.4.56) здесь не требуется, т. к. и E, и L легко восстанавливаются по f и µ соответственно). Отметим здесь же, что в условиях, определяющих (4.4.56), при ε ] 0, ∞[
µ(t coµ [f]t−1 ( [ ε, ∞[)) = µ({x E | ε 6 | f(x) − Mµ [f] |}) [ 0, 1]
есть (в к.-а. версии) вероятность того, что значение f уклоняется от Mµ [f] не менее, чем на ε. Для этой вероятности из предложения 4.4.8 имеем нужную оценку: L (σ − alg)[E] f B(E, L) µ P(L) ε ]0, ∞[
µ(t cµo |
1 |
([ ε, ∞[)) 6 |
1 |
|
|
[f] t− |
|
Dµ [f]. |
(4.4.57) |
||
ε2 |
В (4.4.57) имеем нужную форму неравенства Чебышева, из которой, в частности, извлекается традиционный для классической теории вероятностей вариант, отвечающий случаю µ Pσ(L).
Мы ограничиваемся упомянутыми элементарными положениями, включающими, в частности, определенное сравнение к.-а. и с.-а. вариантов теории меры (см., в частности, (3.8.30) и предложение 4.4.6). Эти положения касались весьма частных случаев, что и позволяет провести соответствующие рассуждения в достаточно элементарной форме. В связи с более общими построениями, использующими к.-а. меры, см. [10, гл. III, IV], [34].
§4.5. Простейший вариант теоремы о мажорированной сходимости (роль свойства счетной аддитивности)
В§§ 3.5, 3.6 ЯИ был охарактеризован как линейный непрерывный функционал на пространстве B(E, L) всевозможных ярусных функций. Однако свойство непрерывности было связано здесь с sup −нормой · пространства B(E). Данную непрерывность можно, в частности, трактовать как секвенциальную. Такая трактовка естественным образом порождает вопрос о сходимости значений ЯИ при поточечной (секвенциальной ) сходимости подинтегральных функций. Этому вопросу в классической теории меры можно сопоставить известную теорему Лебега о мажорированной сходимости (см., например, [3, c. 161]). Полезно, однако, отметить, что в к.-а. варианте упомянутая теорема, вообще говоря, несправедлива даже в своем частном случае, когда требование мажорирования суммируемой функцией
221
заменено требованием совокупной ограниченности соответствующей (подинтегральным функциям) последовательности значений sup −нормы.
Пример. Рассмотрим ИП с полуалгеброй множеств, используемое в § 3.8. Итак, пусть E = N , а L Π[E] определена в (3.8.1), где семейства Z1 и Z2 также соответствуют § 3.8. Кроме того, будем использовать к.-а. (0,1)-меру µ∞ (3.8.28). Рассмотрим последовательность
(χk, |
∞ |
)k |
N |
: |
N −→ |
Bo(E, |
L |
) |
(4.5.1) |
−−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(тогда, в частности, χ−−s,→∞ B(E, L) при s N ). Из определения индикатора легко следует факт поточечной сходимости
()
χk, |
(x) |
k |
|
E(x) x |
|
E, |
(4.5.2) |
−−→ |
|
|
N −→ O |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
где, как уже отмечалось, OE = ON есть стационарная последовательность, значения которой тождественно равны нулю. Наряду с (4.5.2) справедливо свойство
|
χk, |
= 1 k |
N |
. |
(4.5.3) |
−−∞→ |
|
|
|
Итак, мы имеем последовательность в единичной сфере пространства B(E, L). Заметим, что для всякого s N последовательность χs Bo(E, L) является стационарной и, в частности, сходящейся:
()
χs(j)
ясно, что h∞(χs) = 1 (см. (3.8.11). Поэтому согласно (3.8.25)
∫ |
(4.5.4) |
χs dµ∞ = 1 s N , |
|
E |
|
в то время как для функции OE = ON справедливо равенство
∫
|
OE dµ∞ = h∞(OE) = 0. |
(4.5.5) |
||||
E |
|
|
|
|
|
|
Из (4.5.4) и (4.5.5) мы получаем (несмотря на (4.5.2), 4.5.3)) свойство |
||||||
(E |
) |
|
|
E |
OE dµ∞. |
|
∫ |
χk dµ∞ |
k N |
9 |
∫ |
(4.5.6) |
|
В (4.5.6) наглядно проявляет себя эффект конечной аддитивности. |
2 |
|||||
222
Отметим, что для обоснования теоремы о мажорированной сходимости (в с.-а. случае) нам потребуется несколько обобщить понятие (секвенциальной) сходимости множеств. Условимся о следующих обозначениях: если
|
|
|
(Aj)j N : N −→ P(E), |
|
|
|
|
(4.5.7) |
||||||
то полагаем, что |
|
∩∞ |
) |
|
|
|
|
∩ ( |
|
∞ |
) |
|
||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim inf Aj = |
m |
|
|
Ak |
& |
|
lim sup Aj = |
m |
|
|
|
Ak . (4.5.8) |
||
j→∞ |
N |
−−−→ |
|
) |
( |
j |
→∞ |
N |
|
−−−→ |
|
) |
||
( |
|
|
|
|
k |
|
||||||||
|
|
|
k m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
m, |
|
|
В (4.5.7) определены два п/м E; при всяком выборе последовательности (4.5.7) для множеств (4.5.8) имеем вложение
j |
|
j |
j |
. |
(4.5.9) |
lim inf A |
|
lim sup A |
|
||
|
→∞ |
|
j→∞ |
|
|
Можно привести простые примеры, когда в (4.5.9) отсутствует равенство. Кроме того, если фиксирована последовательность (4.5.7), то
( ∩∞ |
A |
) |
m |
|
↑ |
j |
|
j |
& |
( |
∞ |
A |
) |
m |
|
↓ lim sup |
A |
j |
. |
(4.5.10) |
||
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
||||||||||||||
( k |
−−−→ |
|
|
|
N |
|
|
→∞ |
) |
( |
|
−−−→ |
|
|
|
N |
j |
→∞ |
|
|
) |
|
|
m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 4.5.1. Если (Aj)j N — последовательность (4.5.7) |
и A |
||||||||||||
P(E), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A ) |
|
A |
def |
(lim inf A |
|
A |
|
(lim sup A |
|
= A) . |
2 |
||
j N |
) ( |
j = |
|
|
|||||||||
( |
j |
|
j ∞ |
|
) & |
|
j→∞ |
j |
) |
|
|||
Предложение 4.5.1. Если(Aj)j N — последовательность (4.5.7) |
и A |
||||||||||||
P(E), то |
|
|
((Aj)j N ↓↑ A) = ((Aj)j N |
A). |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
Предложение 4.5.2. Если L (σ − alg)[E], (Lj)j N LN и L L, то
( |
) |
( |
( |
) |
(Lj)j N |
L |
|
µ(Lj) j N → µ(L) µ (σ − add)+[L]). |
Доказательство. Фиксируем L, (Lj)j N и L в согласии с условиями.
Пусть |
|
(4.5.11) |
(Lj)j N |
L. |
223
Из определения 4.5.1, (4.5.10) и (4.5.11) вытекает, что
|
∩∞ |
|
|
|
↑ L |
|
|
(4.5.12) |
||
|
|
Lk |
m |
N |
|
|
||||
(k −−−→ |
) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, кроме того, справедливо свойство |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
Lk |
m |
N |
↓ L. |
|
|
(4.5.13) |
||
(k −−−→ |
) |
|
|
|
|
|
||||
|
m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагаем для краткости, что m N |
|
|
|
∞ |
|
|
||||
∩∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Lk |
& Vm |
|
|
Lk . |
(4.5.14) |
||||
Um = |
= |
|
−−−→ |
|||||||
( |
−−−→ |
) |
( |
|
|
k |
|
) |
|
|
k |
m, |
|
|
|
|
|
|
m, |
|
|
Тогда из (4.5.12) и (4.5.13) получаем следующие свойства сходимости
( ) ( )
(Um)m N ↑ L & (Vm)m N ↓ L .
Здесь (Um)m N : N → L и (Vm)m N : N → L. Пусть ν (σ − add)+[L].
Тогда (см.(4.2.23), (4.2.24)) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
( |
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ν(Um) m N ↑ ν(L))& ( |
|
ν(Vm) m N ↓ ν(L)). |
|
|
|
|
|
(4.5.15) |
|||||||||||||||||
Отметим, кроме того, с учетом (4.5.14) что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν(Um) 6 ν(Lm) 6 ν(Vm) m N . |
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−→ |
|||||||||
Пусть |
ε |
o |
] 0, |
|
[. |
С учетом (4.5.15) подберем |
N |
N такое, что |
|
m |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
N, |
∞ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(| ν(Um) − ν(L) | < εo)& (| ν(Vm) − ν(L) | < εo). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть |
n |
|
−−−→ |
|
Тогда, с одной стороны, |
( |
n |
) |
6 |
( |
n |
) |
6 |
( |
n |
) |
|
С другой |
||||||||||
|
|
N, |
∞ |
. |
ν U |
|
ν L |
|
ν V |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
стороны, по выбору n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(| ν(Un) − ν(L)| < εo)& (| ν(Vn) − ν(L)| < εo). |
|
|
|
|
|
(4.5.16) |
|||||||||||||||||||
В частности, ν(L) − ν(Un) < εo, а потому ν(L) − ν(Ln) < εo. Из второго неравенства в (4.5.16) следует, что ν(Vn)−ν(L) < εo, а тогда ν(Ln)−ν(L) < < εo. В итоге
| ν(Ln) − ν(L)| < εo.
Коль скоро выбор n был произвольным, установлено, что
ν(L ) |
ν(L) |
< ε |
|
m |
−−−→ |
| m − |
| |
|
o |
|
N, . |
|
∞ |
224
Поскольку и выбор εo был произвольным, получаем, что
()
ν(Lj) jN −→ ν(L).
Итак, установлено, что при условии (4.5.11)
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
µ (σ − add)+[L]. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
µ(Lj) |
|
jN −→ µ(L) |
|
|
2 |
||||||||||
|
Всюду до конца настоящего параграфа полагаем, что E ̸= . |
|||||||||||||||||||
Предложение 4.5.3. Если (gj)jN : |
N → RE, то истинна следующая |
|||||||||||||||||||
импликация |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||
( |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c ] 0, ∞[). |
||||
gj(x) jN −→ 0 x E) = ( |
|
(gj)−1(] c, ∞[) jN |
|
|||||||||||||||||
|
Доказательство. Фиксируем (gj)jN в согласии с условиями и полага- |
|||||||||||||||||||
ем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ε |
|
] 0, |
|
|
|
|
gj(x) jN −→ 0 x E. |
|
|
|
||||||||
Пусть |
|
[. Получаем теперь, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A |
g |
|
−1 |
( ] |
ε, |
∞[) = { |
x |
|
E |
| |
ε < g |
x |
j |
N |
. |
|
|
|
|
|
|
j = ( j) |
|
|
|
|
|
j( )} |
|
|
|||||||
Получили последовательность (Aj)jN в P(E), для которой множества
( |
A |
|
|
& A |
|
lim sup A |
j) |
|
= lim inf A |
|
|||||
|
j→∞ |
j) ( |
= |
j→∞ |
таковы, что A A . Покажем, что A = . В самом деле, допустим противное: A ≠ . Выберем x A ; тогда
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
k |
|
−−−→ : |
ε < g |
k( |
) |
. |
(4.5.17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
m, |
∞ |
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Однако |
gj(x ) jN → 0, что противоречит (4.5.17). Тем самым установле- |
|||||||||||||||||||
но, что |
( |
= )а тогда и |
A |
= |
. |
В итоге (см. определение 4.5.1) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(Aj)jN |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
Так как ε ] 0, ∞[ выбиралось произвольно, имеем из определения (Aj)jN |
|
|||||||||||||||||||
требуемое свойство сходимости последовательностей |
(g )−1( ] c, |
[) |
, |
|||||||||||||||||
c |
|
] 0, |
|
[. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( j |
∞ )jN |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие 4.5.1. Если (gj)jN : N → RE, то истинна импликация |
|
|||||||||||||||||||
|
( |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
c ] 0, ∞[). |
|
||
|
gj(x) jN → 0 x E) = ( |
t gj t( ] c, ∞[) jN |
|
|||||||||||||||||
225
Доказательство очевидно (см. предложение 4.5.3).
Предложение 4.5.4. Если L (σ − alg)[E] и (gi)iN :
((( ) ) (
gi(x) iN → 0 x E & c [ 0, ∞[: gj 6 c
((∫ ) )
N → B(E, L), то
))
j N =
= gi dµ → 0 µ (σ − add)+[L] . (4.5.18)
iN
E
Доказательство. Фиксируем L и (gi)iN в согласии с условиями. Пусть
(( ) ) ( ) gi(x) iN → 0 x E & c [ 0, ∞[: gj 6 c j N .
t |
gj |
t |
B |
+ |
(E, L) j N . |
Легко видеть, что (см. (4.4.1)) |
|
|
Тогда hj = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
gj = hj j N . |
|
||
Стало быть, для некоторого числа a [ 0, ∞[ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
hj 6 a |
j N . |
(4.5.19) |
|
Пусть ν (σ − add)+[L]. Покажем, что имеем место сходимость |
|
|||||||
|
|
|
|
|
(E |
) |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
gi dν |
iN −→ 0. |
(4.5.20) |
В самом деле, пусть κ ] 0, ∞[. Тогда, в частности,
κ
b = 2(ν(E) + 1) ] 0, ∞[
(напомним, что ν(E) [ 0, ∞[.) Мы имеем теперь при всяком j N , что множества
t |
|
−1 |
( ] − ∞, b]) = {x E | hj(x) 6 b} L, |
|
||
Uj = |
gj t |
|
|
|||
t |
gj t |
−1 |
( ] b, ∞[) = {x E | b < hj(x)} L |
(4.5.21) |
||
Vj = |
|
|
||||
образуют в совокупности разбиение множества E |
|
|||||
|
|
(Uj Vj = E)& (Uj ∩ Vj = ); |
(4.5.22) |
|||
226
отметим, кроме того, с учетом (3.7.9) и неотрицательности hj, что
(∫ )
|
|
hj ν = |
hj dν |
L |
(add)+[L] |
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
(на самом же деле hj ν = |
L hj dν LL (σ − add)+[L] в силу предложе- |
|||||
ния 4.4.4), а тогда с учетом (∫(4.5.21) )и (4.5.22) имеем цепочку равенств |
||||||
∫ |
hj dν + ∫ |
hj dν = (hj ν)(Uj) + (hj ν)(Vj) = (hj ν)(E) = ∫ |
hj dν. |
|||
Uj |
Vj |
|
|
|
E |
|
Заметим, что в силу следствия 4.5.1 и (4.5.10)
(Vj)jN .
С учетом предложения 4.5.2 имеем свойство сходимости
( |
) |
(4.5.23) |
|
ν(Vj) jN −→ 0. |
|
Кроме того, легко видеть, что для каждого k N |
|
|
hkχVk 5 aχVk ,
а тогда с учетом неотрицательности ν получаем, что
∫ hk dν = ∫ hkχVk dν 6 ∫ aχVk dν = aν(Vk), |
∫ hk dν [ 0, ∞[. |
||||||
Vk |
E |
|
E |
|
Vk |
||
В силу (4.5.23) имеем теперь очевидную сходимость |
|||||||
|
|
∫ |
hj dν |
jN −→ 0. |
|
||
|
|
(Vj |
) |
|
|
||
С учетом этого свойства фиксируем такой индекс p N , что |
|||||||
|
∫ |
|
|
κ |
p, . |
|
|
|
hj dν < |
|
|
j −−∞→ |
(4.5.24) |
||
|
2 |
||||||
Vj
С другой стороны, из (4.5.21) имеем для всякого j N
hjχUj 5 bχUj ,
227
откуда с учетом неотрицательности ν вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ hj dν = ∫ hjχUj dν 6 ∫ bχUj dν = bν(Uj) 6 bν(E) = |
κ |
|
ν E) |
|
κ |
|||||||||
|
|
· |
( |
< |
|
. |
||||||||
2 |
|
ν(E) + 1 |
2 |
|||||||||||
Uj |
E |
E |
|
|
|
−−→ |
|
|
|
|
|
|||
С учетом (4.5.24) мы получаем, как следствие, j |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p, |
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
E |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
∫ t gj t dν = |
∫ hj dν < κ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫ |
gj dν |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
см. следствие 4.4.1. Поскольку выбор κ был произвольным, установлена
сходимость |
|
(E |
) |
|
|
|
iN −→ 0. |
||
|
|
∫ |
gi dν |
|
Но и выбор ν также был произвольным. Стало быть, |
||||
(E |
|
) |
|
µ (σ − add)+[L], |
∫ |
gi dµ |
iN −→ 0 |
||
чем и завершается доказательство импликации (4.5.18).
Теорема 4.5.1. Если L (σ − alg)[E], f B(E, L) и (fi)iN
B(E, L), то
((( ) ) (
fi(x) iN → f(x) x E & c [ 0, ∞[: fj 6 c j N
((∫ ) ∫ )
2
: N →
))
=
= |
fi dµ |
i |
→ f dµ µ (σ − add)+[L] . |
(4.5.25) |
|
|
|
N |
|
E |
|
|
E |
|
Доказательство практически очевидно (см. предложение 4.5.4), но в целях полноты изложения мы его приведем, фиксируя L, f и (fi)iN в согласии с условиями и полагая истинной посылку доказываемой импликации (4.5.25). Имеем
( )
φj = fj − f = fj(x) − f(x) x E B(E, L) j N .
( )
Тогда φi(x) iN → 0 x E. Кроме того, по аксиомам нормы
φj 6 fj + f j N .
228
Стало быть, в силу предложения 4.5.5 имеем место сходимость
(∫ )
|
φi dµ |
i |
−→ 0 µ (σ − add)+[L]. |
(4.5.26) |
||
|
E |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вместе с тем φj dµ = |
fj dµ − |
f dµ µ (σ − add)+[L] |
j N . С |
|||
E |
|
E |
|
|
E |
|
учетом (4.5.26)∫ имеем: |
∫ |
|
|
∫ |
|
|
(E |
) |
|
|
E |
f dµ µ (σ − add)+[L]. |
|
∫ |
fi dµ |
iN |
−→ ∫ |
2 |
||
Отметим, кстати, что, если зафиксировать меру µ, по которой осуществляется интегрирование, то условия посылки в (4.5.25) могут быть ослаблены, что и делается в классической теории меры (см., например, [3]).
Следствие 4.5.2. Если L (σ − alg)[E], f B(E, L) и (fi)iN
B(E, L), то
((( ) ) (
fi(x) iN → f(x) x E & c [ 0, ∞[: fj 6 c j N
((∫ ) ∫ )
= fi dµ → f dµ µ (σ − add)+[L] L L .
iN
: N →
))
=
(4.5.27)
L L
Доказательство. Фиксируем L, f и (fi)iN в согласии с условиями, полагая истинной посылку доказываемой импликации (4.5.27). Пусть ν
(σ − add)+[L] и Λ L. Тогда φ = fχ B(E, L) и
φi = fiχ B(E, L) i N .
()
При этом φi(x) iN → φ(x) x E. В самом деле, при x Λ имеем φj(x) = fj(x) при j N и, кроме того, φ(x) = f(x). Если же x E \ Λ,
то φj(x) = φ(x) = 0 при всех j N. Кроме того, φj 6 fj j N. В силу теоремы 4.5.1 имеем сходимость
|
(E |
) |
E |
|
|
|
|
∫ |
φi dν |
iN −→ ∫ |
φ dν. |
|
(4.5.28) |
Из (3.7.4) имеем также следующие равенства |
|
) |
||||
(E |
|
|
) (E |
|
||
∫ |
φj dν = ∫ fj dν j N & |
∫ φ dν = |
∫ |
f dν . |
||
229