elemen_teorija

ральных чисел) и V = E \ U = N \ U. Тогда U V = N , U ∩ V = ; мы получили разбиение множества E = N . Полагаем, что f : E −→ R определяется условиями

Ясно, что на самом деле f есть сходящаяся последовательность:

kN

Как следствие, f B(E, L). Для обоснования этого утверждения укажем конкретную последовательность ступенчатых в/з функций на E, сходящуюся к f. В самом деле, если m N , то полагаем, что

()

ясно, что (L(im))i 1,m ∆m(E, L). Тогда при всяком m N

∑m

fm = f(i)χL(im) Bo(E, L);

i=1

в этих построениях мы учитываем вложение Z L. Ясно, что m

N j 1, m

fm(j) = f(j).

С учетом (2.8.24) имеем нужное свойство

(fm)mN f.

Получили, что f B(E, L). С другой стороны, из определения f вытекает,

что

f−1( ] − ∞, 0[ ) = {k E | f(k) < 0} = U.

120

Однако U ̸ L(см. (2.8.23)). Данное свойство вполне очевидно.

В самом деле, пусть от противного U L; тогда при некотором n N имеем ∆n(U, Z) ≠ , что позволяет выбрать (Zi)i 1,n ∆n(U, Z). Тогда,

в частности, U есть объединение всех множеств Zi, i 1, n. Поскольку

121

Глава 3

ИНТЕГРАЛ ЯРУСНОЙ ФУНКЦИИ ПО КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ МЕРЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ

§3.1. Введение

Внастоящем разделе мы рассматриваем схему интегрирования, которая представляется простейшей и, вместе с тем, достаточной для многих приложений. Мы следуем подходу, в рамках которого подинтегральная функция и мера, по которой осуществляется интегрирование, являются равноправными объектами. Речь идет при этом о билинейном функционале; значениями этого функционала являются требуемые интегралы. Само же построение интеграла осуществляется в два этапа: сначала посредством конечных сумм определяется элементарный интеграл на пространстве ступенчатых в/з функций, а затем используется предложение 1.7.1. Еще раз отметим, что в данной книге мы ограничиваемся простейшими конструкциями и следствиями упомянутых простейших построений.

§3.2. Элементарный интеграл

Внастоящем разделе рассматривается простейшая конструкция интегрирования ступенчатых в/з функций по к.-а. мере. Исследуются интуитивно понятные свойства получающегося элементарного интеграла (ЭИ), на основе которых затем будут установлены свойства более общего интеграла на пространстве ярусных функций. Мы полагаем, как и прежде, что E — непустое множество, а L — семейство п/м E, удовлетворяющее (2.2.1).

122

Итак, L есть (непустое) мультипликативное семейство п/м E с «нулем» и «единицей» (последнее означает, что L и E L). Случаи, когда в отношении L (2.2.1) потребуется делать дополнительные предположения, всякий раз будут оговариваться особо.

Мы рассматриваем ЭИ как функцию двух переменных, одна из которых

— ступенчатая в/з функция, а вторая — к.-а. мера. Определить такую зависимость непосредственно, не привлекая каких-либо дополнительных конструкций, представляется затруднительным и мы используем представление ступенчатой функции в виде линейной комбинации индикаторов ячеек конечного «измеримого» разбиения множества E. Разумеется, такое представление может быть неединственным. В этой связи доказывается, что для всех вышеупомянутых представлений одной и той же ступенчатой функции интегральные суммы совпадают (если, конечно, зафиксирована мера, т. е. инструмент интегрирования). В самом деле, справедливо следующее

Предложение 3.2.1. Если m N , (αi)i 1,m Rm, (Li)i 1,m ∆m(E, L), n N , (βj)j 1,n Rn и (Λj)j 1,n ∆n(E, L) обладают свойством

αiµ(Li) = βjµ(Λj) µ (add)[L].

Выберем произвольно и зафиксируем к.-а. меру ν (add)[L]. С учетом (2.2.3), (2.2.4) и (3.2.2) имеем

Как следствие, получаем с очевидностью (см. (1.4.12), (1.4.15)) следующие два представления

123

С учетом (2.2.19) и (3.2.1) легко проверяется, однако, что (см. [28, c. 51, 52])

αiν(Li ∩ Λj) = βjν(Li ∩ Λj) i 1, m j 1, n.

Поэтому (см. (1.4.12), (3.2.3), (3.2.4)) S1 = S2. Поскольку выбор ν был произвольным, установлено (см. (3.2.3), (3.2.4)), что

Из предложения 3.2.1 вытекает, что m N (αi)i 1,m Rm (Li)i 1,m

∆m(E, L) n N (βj)j 1,n Rn (Λj)j 1,n ∆n(E, L)

(3.2.5) Из (2.7.2), (2.7.3) и (3.2.5) вытекает (см. также предложение 3.2.1)), что

f Bo(E, L) µ (add)[L] !c R : n N (αi)i 1,n Rn

(Li)i 1,n ∆n(E, L)

Теперь уже корректно следующее важное

Определение 3.2.1. Если f Bo(E, L) и µ (add)[L], то ЭИ f по к.-а. мере µ

124

Из (2.7.3) и определения 3.2.1 следует, конечно, что корректно опреде-

E i=1

Речь идет об использовании второго положения в (2.7.3). Учитывая (3.2.6),

Очень часто (3.2.7) рассматривается в качества определения ЭИ; при этом обычно говорится, что сама величина (3.2.7) не зависит от конкретного способа представления ступенчатой в/з функции, которая интегрируется. Представляется все же, что определение 3.2.1 точнее и мы будем его придерживаться, рассматривая (3.2.7) как следствие.

Напомним, что OE Bo(E, L); кроме того, из (2.7.3) следует, что χE Bo(E, L). Тогда из определения 3.2.1 и (3.2.7) вытекает, что µ (add)[L]

В (3.2.8) можно использовать (3.2.7) в случае n = 1 и L1 = E, полагая соответственно α1 = 0 и α1 = 1. Из (2.2.5), (2.7.21) и определения 3.2.1 легко следует свойство:

В связи с проверкой (3.2.9) отметим также (2.2.19) и предложение 2.7.2 (хотя свойство (3.2.9) представляется естественным, рекомендуем читателю его проверить самостоятельно). Учтем теперь предложения 2.5.1 и 2.7.2. Тогда при µ (add)[L] имеем

125

Схема доказательства. Первое положение в (3.2.13) непосредственно следует из определения 3.2.1. То же самое можно сказать про свойства (3.2.14); их обоснование — очевидное следствие свойств конечных сумм (см. § 1.3 и, кроме того, (3.2.6)). Итак, по существу доказательства требует только второе положение в (3.2.13). Фиксируем µ (add)[L]. Пусть

Для каждой из трех функций в (3.2.15), (3.2.16) определен ЭИ по к.-а. мере

µ. Подберем

p N , (ai)i 1,p Rp, (Li)i 1,p ∆p(E, L)

так, что при этом реализуется равенство

кроме того, подберем такие

q N , (bj)j 1,q Rq, (Λj)j 1,q ∆q(E, L),

что при этом справедливо равенство

Из определения 3.2.1, (3.2.7), (3.2.17) и (3.2.18) вытекают равенства

В отношении ЭИ функции (3.2.16) отметим только, что m N (αs)s 1,m

Rm (Hs)s 1,m ∆s(E, L)

127

Разумеется, Li ∩ Λj L i 1, p j 1, q. Рассуждениями, подобными используемым при доказательстве предложения 2.7.2 (см.(2.7.9)) и предложения 3.2.1 проверяется, что

Рассмотрим непустое конечное множество 1, p × 1, q, элементами которого

являются всевозможные упорядоченные пары (i, j), i 1, p, j 1, q, и

только они. Для r = |1, p × 1, q| N имеем (см. § 1.4) свойство

(bi)[1, r; 1, p × 1, q] ≠ .

Выберем произвольно λ (bi)[1, r; 1, p × 1, q]. С учетом (1.4.3), (1.4.12) и (1.4.15) имеем тогда из (3.2.22) следующую цепочку равенств

Из определения 3.2.1 и (3.2.4) вытекает, что справедливо очевидное равенство

128

В то же время из (3.2.23) и (3.2.25) следует цепочка равенств

Наконец, u + v = w, что легко следует из (3.2.17), (3.2.18) и (3.2.24). Тогда в силу (3.2.26) имеем равенство

Поскольку выбор u и v был произвольным, второе положение в (3.2.13) установлено. 2 Из предложения 3.2.2 вытекают, в частности, следующие свойства:

1) если µ (add)[L], то (см. предложение 2.7.2)

(3.2.27)

2) если f Bo(E, L), то (см. предложение 2.5.1)

Мы ограничиваемся (3.2.27) и (3.2.28), хотя можно было бы указать подобные свойства, касающиеся произвольных линейных комбинаций ступенчатых функций и к.-а. мер соответственно.

Напомним, что в случае когда L Π[E], согласно предложению 2.7.3 мы можем интегрировать индикатор любого множества из L.

129