C2-2013-MIET

Тренировочные упражнения

84. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1

найдите угол между прямой А1B1 и плос-

костью BDC1 .

85. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой AВ1 и плоскостью

ABC1.

86. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AA1 и плос-

костью BC1D .

87. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AC1 и плос-

костью BCC1 .

88. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E –

середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью

ВDD1.

89. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E –

середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью

ВDC1 .

90. (ЕГЭ, 2012). В прямоугольном па-

мой AB1 и плоскостью ABC1 .

91. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью AA1C и прямой A1В, если

AA1 3, AB 4, BC 4.

92. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью A1BC и прямой BC1, если

AA1 8, AB 6, BC 15.

93. В прямоугольном параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1 , у которого AA1 4,

A1D1 6, C1D1 6 найдите тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B1C1.

94. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 , у которого AB 4,

BC 6, CC1 4 найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF,

проходящей через середины ребер AA1 и

C1D1 .

95. (ЕГЭ, 2011). В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 , сто-

роны основания которой равны 5, а боковые рёбра 7, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью BDD1 .

96. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все стороны которой равны,

найдите угол между прямой AA1 и плос-

костью ABС1 .

97. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все рёбра которой равны 1,

точка D середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между прямой AD и плоскостью BСC1 .

98. В основании прямой призмы MNKM1N1K1 лежит прямоугольный треугольник MNK, у которого угол N равен 90 , угол M равен 60 , NK 18. Диагональ боковой грани M1N составляет угол 30 с плоскостью MM1K1 . Найдите высоту призмы.

99. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С равен

90 , угол А равен 30 , AC 103 . Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30 с плоскостью AA1B1 . Найдите высоту призмы.

100. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F1B1 и плоско-

стью AF1C1 .

101. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ACE1.

102. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, точка G – середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью BСС1 .

103. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, точка G – середина ребра C1D1 . Найдите синус угла между пря-

мой AG и плоскостью BСС1 .

104. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все рёбра которой равны 1, точка G – середина ребра A1В1 . Найдите синус угла между пря-

мой AG и плоскостью BDD1.

105. (МИОО). В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 7, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F1B1 и

плоскостью AF1C1 .

106. (ЕГЭ, 2010). В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием

ABC известны ребра: AB 203 , SC 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.

107. (ЕГЭ, 2010). В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием

где M точка пересечения медиан грани

SBC .

108.В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите угол между плоскостью BSC и прямой MN, где точка N – середина ребра AC, а точка M лежит на ребре SB так, что BM 1.

109.Дана правильная треугольная пирамиде ABCD, сторона основания и вы-

сота которой равны 63 и 4 соответственно. Найдите угол между прямой EF и плоскостью основания ABC, если F середина ребра DB, а E лежит на AD так,

что AE : ED 3:1.

110. (МИОО). В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием

ABC сторона основания равна 63, а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостью АВС и прямой МN, где

точка N – середина ребра АС, а точка М делит ребро BS так, что BM : MS 2:1.

111.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD.

112.(ЕГЭ, 2011). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в которой AB 3, SA 7, точка E середина ребра SB . Найдите угол между прямой CE

иплоскостью SBD.

113.В правильной четырехугольной пирамиде MABCD , все ребра которой равны 1, точка E середина ребра MC. Найдите синус угла между прямой DE и плоскостью AMB .

114.В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания

которой равны 1, а боковые рёбра равны 4, найдите синус угла между прямой BC

иплоскостью EMD.

115.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, боковые рёбра которой равны 2, а стороны основания – 1, найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.

1.7.Угол между плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0 , 180 ).

Величина угла между пересекающими-

ся плоскостями принадлежит проме-

жутку (0 , 90 ].

Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0 .

Построение линейного угла двугранного угла или поэтапновычислительный метод

Рассматриваемый метод позволяет находить поэтапно искомый угол при решении известных задач, к которым сводится данная задача. Перечислим типы этих задач, связанных с нахождением угла:

●между пересекающимися прямыми a

иb, лежащими в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения (см. рис. 63);

ствующий линейный угол строится с помощью двух перпендикуляров a и b, проведенных в указанных плоскостях к прямой их пересечения, а его величина в дальнейшем находится либо из некоторого прямоугольного треугольника, либо из некоторого треугольника с применением теоремы косинусов.

Пример 54. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все рёбра которой равны 1, найти двугранный угол между основанием и боковой гранью.

Решение. Пусть E и K – середины ребер AD и BC соответственно, О – центр основания ABCD (см. рис. 64). Тогда SE AD, EK AD и поэтомуSEK – линейный угол данного двугранного угла.

Так как AD 1, OE 1 , SD 1, то

S

c

A

Рис. 63

●между прямыми, параллельными прямым a и b или между b и прямой, параллельной a;

●между плоскостями, параллельными данным плоскостям и или между

и плоскостью, параллельной ;

●между перпендикулярами к данным плоскостям.

Решение задачи этим методом сводится непосредственно к построению линейного угла двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями и, и вычислению его значения. Соответ-

BKC

AO

E

D

Рис. 64

Ответ: arccos 1 . 3

Пример 55. В правильной шестиугольной пирамиде, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найти косинусы двугранных углов при основании и при боковом ребре.

Решение. Рассмотрим пирамиду MABCDEF. Поскольку пирамида правильная, то равны все ее двугранные углы при основании и равны все углы между любыми ее смежными боковыми гранями. Найдем, например, угол между

плоскостью основания и боковой гранью MAF и угол между боковыми гранями

FME и MDE (см. рис. 65).

M

C D N

K

B E

O

A L F

Рис. 65

Прямая AF – ребро двугранного угла MAFЕ. Пусть O – центр основания, тогда MO – высота пирамиды. Пусть L – середина отрезка AF, тогда ML – апофема грани AMF,

По теореме о трех перпендикулярах прямая LO перпендикулярна AF. Следовательно, MLO – линейный угол дву-

гранного угла MAFB. LO 3, так как

2

является высотой равностороннего треугольника AOF со стороной 1. Из прямоугольного треугольника LMO находим

Прямая ME – ребро двугранного угла FMED. В треугольниках FME и MDЕ проведём высоты к стороне ME из точек F и D соответственно. ПосколькуFME DME , то эти высоты «сойдутся» в одной точке N. Следовательно,DNF – линейный угол двугранного уг-

ла FMED.

Из равенства треугольников FME и MDЕ следует равенство высот FN и DN. Найдем FN. Для этого вычислим площадь треугольника FME. Поскольку апофема

ная на ME, равна:

FN 2SFME 15 .

ME 4

Далее, рассмотрим равнобедренный треугольник FDN. В нем FD 2LO 3. Косинус угла DNF можно найти, воспользовавшись теоремой косинусов для стороны DF:

cos FND FN2 DN2 FD2 3 .

Таким образом, искомые косинусы двугранных углов при основании и при

Так как в подобных телах соответствующие углы равны, а линейные элементы (стороны, высоты, медианы и т.п.) пропорциональны, то при вычислении углов в какой-либо конфигурации (обычно в треугольнике) важно учитывать лишь отношение длин соответствующих отрезков. Поэтому, если все линейные элементы конфигурации зависят от одного параметра, то можно принимать значение этого параметра равным какомунибудь числу. В частности, в кубе при нахождении угловых величин часто полагают длину его ребра равным единице.

Пример 56. В кубе ABCDABC1 1 1D1

найти угол между плоскостями сечений

ABC1 1D и CB1AD1 .

Решение. Пусть ребро куба равно 1. Прямая B1D – линия пересечения плос-

костей сечений ABC1 1D и CB1AD1 , так как B1 и D – их общие точки (см. рис. 66).

В прямоугольных треугольниках B1AD1 и

BC1 1D проведем высоты к гипотенузе

B1D из точек A1 и C1 соответственно.

Поскольку треугольники B1A1D и B1C1D

равны, то эти высоты «сойдутся» в одной точке N. Следовательно, A1NC1 – ли-

нейный угол двугранного угла A1B1DC1 .

B1 C1

A1D1

N

B

C

A D

Рис. 66

Поскольку прямоугольные треугольники B1A1D и B1C1D равны, то равны и высоты A1N и C1N , опущенные на гипоте-

нузу B1D. Длины указанных высот можно

найти, например, через площадь любого из этих треугольников:

A1N C1N 2 . 3

Далее, рассмотрим равнобедренный

треугольник AC1 1N . В нем AC 2 .

1 1

Найдём угол A1NC1, воспользовавшись теоремой косинусов для стороны AC1 1 :

Отсюда A1NC1 2 . 3

Следовательно, искомый угол между плоскостями сечений A1B1D и B1C1D ра-

вен . 3

Ответ: . 3

05.12.2012

Пример 57. В правильной треугольной призме ABCABC1 1 1 боковое ребро равно b,

а сторона основания a. Найти косинус угла между плоскостями ABC1 и ABC1 1 .

Решение. Построим линию пересечения

В рассматриваемом примере требуется найти косинус угла между плоскостя-

ми ABC1 и ABC1 1 . Встает закономерный вопрос. Нашли ли мы косинус того угла,

45

который требуется в условии, или же нам необходим косинус смежного с ним угла C1NM (кстати, на рис. 67 через обозначена величина именно этого угла)? На этот вопрос можно ответить следующим образом. Согласно определению угла между плоскостями, его величина может

быть в пределах от 0 до , т.е. косинус

2

такого угла должен быть положитель-

3a2 4b2 0, то

4b2 3a2 cos cos C1NM 3a2 4b2

(поскольку косинусы смежных углов равны по абсолютной величине и противоположны по знаку). Таким образом,

|3a2 4b2 |

окончательно: cos 3a2 4b2 .

|3a2 4b2 |

Ответ: 3a2 4b2 .

Метод параллельных прямых

В некоторых задачах построение линейного угла затруднительно. И тогда вместо линейного угла можно рассмотреть угол с соответственно параллельными сторонами по отношению к линейному углу.

Пример 58. В кубе ABCDABC1 1 1D1 с

ребром, равным a, через точки M на реб-

и DN a , параллельно AC проведена се-

4

кущая плоскость. Определить угол между секущей плоскостью и плоскостью

ABC.

Решение. Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки M и

Nпараллельно AC (см. рис. 68).

Сэтой целью рассмотрим диагональ-

ную плоскость AA1C1 . Соединим точки M

и N, тогда AA1C1 MN O , где точка O –

середина отрезка MN. Поскольку, согласно условию, секущая плоскость параллельна AC, то прямая l ее пересечения с плоскостью AA1C1 также будет параллельна AC. Поэтому проведем через точку O прямую QP (QP || AC). Соединив последовательно отрезками точки Q, M, P и N, получим сечение QMPN. Так как секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым, то четырехугольник QMPN является параллелограммом.

A1 M D1

P

A D

Рис. 68

В квадрате ABCD диагонали перпендикулярны ( BD AC ), значит, BD l .

Проведем в плоскости BDD1 прямую KN, параллельную BD. Тогда KN l . Прямая BD является проекцией наклонной MN на плоскость АВС, поэтому по теореме о трех перпендикулярах MN l. Прямая MN лежит в плоскости MPNQ, а прямая КN параллельна плоскости ABC . Следовательно, угол KNM равен линейному углу искомого двугранного угла (как углы с соответственно параллельными сторонами).

Пусть MNK , тогда

tg MB ND a :a2 2 .

Ответ: arctg 2 . 4

Метод параллельных плоскостей

В некоторых задачах является эффективным подход, при котором вместо угла между пересекающимися плоскостями и ищется угол между плоскостями, па-

раллельными рассматриваемым (или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из них).

Пример 59. В кубе ABCDA1B1C1D1

найти угол между плоскостью грани AABB1 1 и плоскостью BC1D.

B1 C1

A1 D1

E

B

C

A D

Рис. 69

Решение. Так как плоскость AAB1 1 па-

раллельна плоскости DDC1 1 , то искомый угол равен углу между плоскостями BC1D и DDC1 1 (см. рис. 69). Диагонали

грани куба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому EC DC1 , где точка E – середина от-

резка DC1. Также BE DC1, как высота

Метод использования перпендикуляров к плоскостям

стями и . В общем случае прямые l

и l могут быть скрещивающимися.

пендикулярна плоскости BC1D (см. рис.

71), так как A1C BC1 и A1C DC1 (по теореме о трех перпендикулярах). Аналогично диагональ куба BD1 перпендику-

лярна плоскости AB1C . Таким образом, задача сводится к нахождению острого угла между диагоналями A1C и BD1

прямоугольника BCD1A1 .

O

C

B

AD

Рис. 71

Пусть O – точка пересечения диагоналей и ребро куба равно 1. Тогда

угольника ОВС находим

cos BOC OB2 OC2 BC2 1 , 2 OB OC 3

т.е. BOC arccos1. 3

Ответ: arccos1 .

CD1 . Так как треугольник AD1C – равно-

сторонний, то получаем ответ: . 3

Ответ: . 3

Пример 62. (МИОО, 2010). Дана пря-

мая четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1 , в основании которой лежит прямоугольник ABCD, в котором

AB 5, AD 33 . Через середину ребра CD проведена плоскость перпендикулярно прямой B1D. Найти тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью грани AA1D1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно 3.

Решение. Так как прямая B1D перпендикулярна проведенной плоскости (на рис. 73 эта плоскость изображена условно), а прямая CD AA1D1 (CD D1D так

Тангенс этого угла найдем из прямоугольного треугольника CB1D

(CD AA1D1, следовательно CD B1C). Так как скрещивающиеся прямые A1C1 и BD лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями. Значит высота и боковое ребро призмы равны

C1

B1D1

A1

C

BD

A

Рис. 73

Ответ: 1,2.

Метод опорных задач

При решении задач этого типа можно

Найти косинус угла между плоскостями

рис. 74). Найдем значения синусов и косинусов плоских углов при вершине B1.

Грань ABB1A1 – квадрат, поэтому

Применяя теорему косинусов для трехгранного угла (опорная задача 2) при вершине B1, получим

cos

cos AB1A1 cos AB1C cos CB1A1 5.

Ответ: 5/7.

Применение теоремы «о трех синусах»

Пусть в одной из граней двугранного угла, величина которого равна , проведена прямая, составляющая с ребром двугранного угла угол (0 /2),

– величина угла между этой прямой и другой гранью. Тогда справедливо следующее соотношение:

sin sin sin .

Доказательство этой формулы приведено в главе 3 п. 3.4, опорная задача №4.

Пример 64. В кубе ABCDA1B1C1D1

найдите угол между плоскостями AB1C и АВС.

Решение. Пусть искомый угол.

расположена вне искомого двугранного

угла, то 2 . 3

Ответ: 2 . 3

Использование расстояний от точки до плоскости и до прямой

Решение задач этого пункта основано на применении таких понятий, как расстояние от точки до прямой и расстояние от точки до плоскости.

M

Рис. 77

Пусть даны две плоскости и (см. рис. 77), пересекающиеся по прямой l. Если известны расстояния от точки М, лежащей в плоскости , до плоскости и до прямой l, то угол между плоскостями и можно вычислить, используя

где (M, ) – расстояние от точки М до

плоскости , M,l – расстояние от

точки М до прямой l.

Пример 66. В кубе ABCDA1B1C1D1

найти угол между плоскостями AB1C и A1B1C .

B1 C1

A1 D1

B C

A D

Рис. 78

05.12.2012

Решение. Пусть сторона куба равна 1. Плоскости AB1C и A1B1C пересекаются по прямой B1C (см. рис. 78). Расстояние от точки А, принадлежащей плоскости AB1C , до прямой B1C равно длине высо-

ты равностороннего треугольника AB1C

стояние от точки А до плоскости A1B1C равно половине диагонали квадрата, т.е.

2 . По формуле (7) имеем

2

Замечание. В зависимости от способа решения ответ может быть записан в разной

Использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника

При применении этого метода угол между плоскостями и можно вычислить, используя формулу