Программа Математический анализ

Учебный план, часов

№

Аудитор-

Самостоятельная работа

поИтоготемам

Лекции

Практика

п/п

Тема, раздел

тия

1.

Элементы математической логики: логические операции, пре-

дикаты, кванторы. Элементы теории множеств: операции над

множествами, декартово произведение множеств. Отображения

(функции); классификация отображений; композиция отобра-

4

4

2

10

жений (сложная функция); обратное отображение. Мощность

множества; счетное множество. Метод математической индук-

ции

2.

Вещественные числа. Построение (конкретные модели) и свой-

ства множества вещественных чисел. Аксиома Архимеда. Пол-

5

1

4

10

нота множества вещественных чисел: теорема о монотонной и

ограниченной последовательности.

3.

Последовательности вещественных чисел. Предел последова-

тельности: определение, основные свойства и признаки суще-

ствования. Бесконечно малые последовательности, арифмети-

4

6

6

16

ческие свойства предела. Предел монотонной последовательно-

сти. Число е.

4.

Принципы полноты множества вещественных чисел: принцип

вложенных отрезков, существование верхней и нижней граней

числового множества. Подпоследовательности. Теорема Боль-

6

4

4

14

цано–Вейершрасса о выделении сходящейся подпоследова-

тельности. Верхний и нижний пределы последовательности.

Критерий Коши существования предела последовательности.

5.

Предел вещественной функции одного вещественного пере-

менного: два эквивалентных определения; бесконечно малые и

7

4

5

16

бесконечно большие функции, арифметические свойства преде-

ла; свойства предела, связанные с неравенствами.

6.

Критерий Коши существования предела функции. Односторон-

ние пределы. Теоремы об односторонних пределах монотонной

4

4

2

10

функции. Элементарные функции, некоторые конкретные (за-

мечательные) пределы.

7.

Сравнение поведения функций; символы "o", "O", эквивалент-

2

3

5

10

ность; основные эквивалентности.

8.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметиче-

ские операции над функциями, непрерывными в точке. Непре-

рывность и предел сложной функции. Точки разрыва; класси-

3

3

2

8

фикация точек разрыва; характер разрывов монотонной функ-

ции.

9.

Теоремы о непрерывных функциях на отрезке. Теоремы Вей-

ерштрасса. Теорема о промежуточных значениях функций. Су-

4

3

5

12

ществование наибольшего и наименьшего значений функций,

непрерывных на отрезке (компактном множестве). Теорема

Кантора о равномерной непрерывности функции непрерывной

на отрезке. Монотонные функции, существование обратных

функций. Обобщение понятия предела и непрерывности функ-

ции на числовом множестве. Предельные точки, теорема Бореля

–Лебега и принцип Больцано–Вейерштрасса.

10.

Дифференцируемость вещественной функции одного веще-

ственного переменного. Дифференцируемость; производная и

дифференциал функции в точке; геометрический, механический

и физический смысл. Непрерывность дифференцируемой функ-

4

6

4

14

ции. Правила дифференцирования. Производная сложной

функции. Производная обратной функции. Таблица производ-

ных элементарных функций. Производные и дифференциалы

высших порядков.

11.

Основные теоремы для дифференцируемых функций: теоремы

Ферма, Ролля; теоремы Лагранжа и Коши о конечных прираще-

3

5

4

12

ниях. Теорема о пределе производной. Правило Лопиталя рас-

крытия неопределенностей.

12.

Формула Тейлора (с остаточными членами в форме Пеано, Ла-

гранжа, Коши). Формула Тейлора для основных элементарных

3

4

7

14

функций.

13.

Применение дифференциального исчисления к исследованию

функций. Монотонность; критерий монотонности и достаточ-

ное условие строгой монотонности дифференцируемой функ-

ции на промежутке. Экстремумы; необходимое условие ло-

кального экстремума (теорема Ферма); достаточные условия

локального экстремума функции в точке в терминах поведения

5

7

4

16

первой производной функции в окрестности точки. Выпуклость

функции на промежутке; условие выпуклости дважды диффе-

ренцируемой функции; взаимное расположение касательной к

графику и графика выпуклой функции. Точка перегиба. Доста-

точные условия точки локального экстремума и точки перегиба

в терминах знака старших производных в точке. Асимптоты.

Всего

54

54

54

162

II СЕМЕСТР

Учебный план, часов

Аудитор-

Самостоятельная работа

поИтоготемам

№

Лекции

Практика

п/п

Тема, раздел

тия

1.

Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный

интеграл и их свойства. Таблица неопределенных интегралов

элементарных функций. Замена переменного. Интегрирование

3

10

5

18

по частям. Интегрирование рациональных функций, квадратич-

ных иррациональностей (подстановки Эйлера), дифференци-

альных биномов, рациональных тригонометрических функций.

2.

Определенный интеграл Римана по отрезку. Ограниченность

4

2

9

15

интегрируемой функции. Суммы Дарбу; критерии интегрируе-

мости Дарбу и Римана. Классы интегрируемых функций: не-

прерывные, монотонные, ограниченные с множеством точек

разрыва жордановой меры ноль.

3.

Свойства интеграла по функции: линейность интеграла, инте-

грируемость произведения. Аддитивность интеграла по множе-

2

2

4

8

ству. Оценки интегралов; первая теорема о среднем.

4.

Интеграл как функция верхнего предела: непрерывность и

дифференцируемость. Существование первообразной непре-

2

3

3

8

рывной функции на промежутке. Формула Ньютона–Лейбница.

Интегрирование по частям. Замена переменного.

5.

Геометрические приложения интеграла. Кривая; длина гладкой

(кусочно-гладкой) кривой, вычисление площади. Механические

2

3

9

14

и физические приложения интеграла. Приближенное вычисле-

ние интеграла.

6.

Метрическое пространство. Сходимость последовательности

элементов метрического пространства. Основные топологиче-

ские понятия и свойства множеств в метрическом пространстве:

предельная, изолированная, внутренняя, граничная точки мно-

4

1

2

7

жества; открытые и замкнутые множества. Компактность мно-

жеств метрического пространстве, связь с ограниченностью и

замкнутостью. Пространство Rn.

7.

Функции многих переменных. Предел функции в точке. По-

вторные пределы; связь двойного и повторного пределов. Не-

прерывность функции в точке. Свойства функций, непрерыв-

ных на множествах: теорема о промежуточных значениях на

4

2

7

13

связном множестве, об ограниченности и достижении верхней и

нижней граней на компактном (ограниченном замкнутом) мно-

жестве; равномерная непрерывность функции.

8.

Дифференцируемость вещественной функции нескольких ве-

щественных переменных. Частные производные. Дифференци-

ал. Непрерывность дифференцируемой функции. Достаточные

условия дифференцируемости. Производная по направлению,

градиент; касательная плоскость и нормаль к поверхности.

7

6

1

14

Дифференцируемость сложной функции. Вектор функции и их

производные, матрица Якоби, якобиан. Частные производные и

дифференциалы высших порядков; условия равенства смешан-

ных производных. Инвариантность формы первого дифферен-

циала. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.

9.

Неявные функции: определение; теоремы о неявных функциях

одного и нескольких переменных; дифференцирование неявных

функций. Якобиан. Неявное отображение, заданное системой;

6

5

3

14

локальное обращение отображения Rn в Rn. Замена переменных

в дифференциальных выражениях.

10.

Локальный (безусловный) экстремум. Необходимое условие

локального экстремума (теорема Ферма). Достаточное условие

5

5

7

17

локального экстремума. Условный экстремум; метод неопреде-

ленных множителей Лагранжа.

11.

Числовые ряды. Сходимость числового ряда; сумма ряда; необ-

ходимое условие сходимости. Критерий Коши. Знакопостоян-

ные ряды; принцип сравнения сходимости (расходимости); при-

4

6

4

14

знаки сходимости: Даламбера, Коши. Интегральный признак

Коши – Маклорена.

12.

Ряд Лейбница: сходимость, оценка остатка. Преобразование

Абеля. Признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов. Абсо-

4

3

6

13

лютная и условная сходимости рядов. Перестановка членов аб-

солютно сходящегося ряда; теорема Римана;

13.

Несобственные интегралы (по бесконечному и промежутку и

конечному промежутку). Признаки сходимости: сравнения,

4

3

6

13

Абеля, Дирихле. Абсолютная и условная сходимость.

Всего

51

51

70

168

III СЕМЕСТР

Учебный план, часов

№

Аудитор-

Самостоятельная работа

поИтоготемам

Лекции

Практика

п/п

Тема, раздел

тия

1.

Функциональные последовательности и ряды. Поточечная схо-

димость. Равномерная сходимость, критерий Коши. Необходи-

мое условие, мажорантный признак Вейерштрасса, признаки

Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных

8

6

8

20

рядов. Почленный переход к пределу; непрерывность предель-

ной функции. Теорема Дини. Почленное интегрирование и

дифференцирование.

2.

Степенные ряды. Множество сходимости (радиус сходимости,

формула Коши–Адамара); характер сходимость; бесконечная

дифференцируемость суммы степенного ряда; почленное диф-

ференцирование и интегрирование степенных рядов. Ряд Тей-

6

6

6

14

лора. Разложение основных элементарных функций в степен-

ные ряды (ряды Тейлора–Маклорена). Степенные ряды (ряды

Тейлора) в комплексной плоскости; формула Эйлера.

3.

Семейства функций, зависящие от параметра. Интегралы, зави-

сящие от параметра. Собственные интегралы, зависящие от па-

раметра и их свойства: переход к пределу под знаком интеграла,

непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по па-

раметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра;

равномерная сходимость: критерий Коши, признаки равномер-

ной сходимости (Вейерштрасса, Абеля, Дирихле). Предельный

10

10

8

22

переход в несобственном интеграле и непрерывность несоб-

ственного интеграла по параметру; дифференцирование и инте-

грирование ( в собственном и несобственном смыслах) несоб-

ственного интеграла по параметру; применение к вычислению

некоторых классических интегралов. Бета- и гамма-функции Эй-

лера, их свойства и применение.

4.

Кратный интеграл Римана. Плоский интеграл Римана по квад-

рируемому (измеримому по Жордану плоскому) множеству:

условия существования, свойства интеграла по функции и по

6

8

6

16

множеству. Сведение двойного интеграла к повторным. Мера

Жордана в Rn. Замена переменных в кратном интеграле. Сведе-

ние кратного интеграла к повторным. Понятие о кратном не-

собственном интеграле. Приложение к геометрии, механике,

физике.

5.

Криволинейные интегралы первого и второго рода веществен-

ной функции по гладкой кривой. Формула Грина; условия неза-

4

4

6

15

висимости интеграла от формы пути интегрирования.

6.

Поверхность. Площадь поверхности. Поверхность ориентиро-

ванная и неориентированная. Поверхностные интегралы перво-

го и второго рода; сведение к двойному интегралу. Формула

8

10

8

20

Гаусса–Остроградского. Классический вариант формулы Сток-

са.

7.

Элементы теории поля: скалярное и векторное поля; градиент,

дивергенция, ротор, поток, циркуляция; потенциальное поле;

векторные линии и трубки; соленоидальное поле; оператор "на-

6

6

4

8

бла"; оператор Лапласа. Основные интегральные формулы век-

торного анализа.

8.

Ряды Фурье. Ряды Фурье по ортонормированным (ортогональ-

ным) системам элементов в евклидовом пространстве. Мини-

мальное свойство сумм Фурье. Неравенство Бесселя и равен-

ство Парсеваля. Полнота и замкнутость системы элементов.

Тригонометрическая система; ее замкнутость. Ряды Фурье по

8

4

8

18

тригонометрической системе: выражение частичных сумм через

ядро Дирихле; принцип локализации; поточечная сходимость;

равномерная сходимость; влияние гладкости функции на ско-

рость сходимости ряда Фурье. Начальные сведения об интегра-

ле и преобразовании Фурье.

Всего

54

54

54

162