26. Непрерывность сложной функции многих переменных.

Теорема. f₁(),…,f_p() – непрерывна в⁰X-открытый в ^m. F(𝕐) – непрерывна в 𝕐⁰=^p, то Ф() [определена в(⁰)]– непрерывна в

Доказательство. Ф - определена в некоторой(⁰); По Гейне: возьмем (⁰); ;Непрерывность по Гейне Ф.

27. Теорема Коши о промежуточном значении функции.

Теорема. Если f –непрерывна на X - выпуклом, X⊂^m, то .

Доказательство.

28. Теоремы Вейерштрасса для функций многих переменных.

Теорема. Если f – непрерывна на компакте K⊂^m, то f – ограничена на K.

Доказательство. (от противного) Пусть f - неограничена на K. ℕ

K – ограничен и замкнут ó подпоследовательность.

Теорема. Если f – непрерывна на K – компакте в ^m, то она достигает своих точных верхних и нижних границ, т.е.

Доказательство. f – ограничена на K по первой теореме, тогда óó – противоречие M=

29. Дифференцируемость функции многих переменных, вид нелинейной части.

; k= [1;m]; ó

Определение. или

Определение. Пусть f-дифференцируема в

Теорема. Если f-дифференцируема в

Доказательство.

Теорема. .

Доказательство. Необходимость.

Теорема. Если f-дифференцируема в

Доказательство.

Вид дифференциала в координатах. ;

Таблица неопределённых интегралов

Эквивалентности:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

•