Вопрос 21. Критерий компактности в Rm.

Множество K в R^m – компактно <=> K – замкнуто и ограничено.

Доказательство.ПустьK– ограниченное замкнутое множество в R^m. Значит, имеется B_r(x) включающийK. Брус П = произведения(k=1..n)[x_k–r,x_k+r] включающий B_r(x) включающийK. Значит, F – замкнутое подмножество компакта. Значит, F – компакт.

Вопрос 22. Критерий Коши и покоординатная сходимость.

X_n=(x₁⁽ⁿ⁾,x₂⁽ⁿ⁾,…,x_n⁽ⁿ⁾)

X_n=(1/n, 1/n)->(0, 0)=0

X⁽ⁿ⁾-> X⁰, если для любой окрестностиX⁰существует номерN, такой что для всех номеровnбольших негоX⁽ⁿ⁾ лежит в этой окрестности.

или

X⁽ⁿ⁾-> X⁰, если для любого положительного эпсилон существует номерN, такой что для всех номеровnбольших него выполняется неравенство. Т.е.

X⁽ⁿ⁾ ограничена,если

Замечание

X⁽ⁿ⁾ограничена– ограничена

Свойства

1. Предел единственный

2. Сходящаяся последовательность -> ограниченная последовательность

3. ??

4. X⁽ⁿ⁾-> X⁰ 

5. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказательство 4)

рассмотрим

Берём , тогда

, т.е.

Критерий Коши

– фундаментальна, если

Теорема

– сходящаяся вℝ^mфундаментальна вℝ^m

Доказательство

Н=>метод

Д<=Пустьфундаментальна вℝ^m

Возьмём – она последовательность Коши

Берём

По критерию Коши в ℝ=ℝ’, т.е. X->X⁰, тогда

Вопрос 23. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство

Пусть – ограничена

k=1,– тоже ограниченная последовательность чисел, тогда (по т.Б-В)

K=2, рассмотрим– тоже ограниченная (подпоследовательность оганиченной посл.), тогда (по т.Б-В)

и т.д.

K=m, рассмотрим– ограниченная, тогда (по т.Б-В)

(покоординатно) => сходится вℝ^m

Вопрос 24. Предел функции по направлению и предел по совокупности переменных.

Функции многих переменных

Пример

– параболоид вращения

– верхняя полусфера

Предел функции в точке

, если определена в – открытом, кроме, быть может, точки,

По Коши

То же в окрестностях

По Гейне

Свойства

1. Коши  Гейне

2. Предел единственный

3. Если то

4. Если , то:

5. =+

6. И другие арифметические свойства

Предел по совокупности переменных(илиm-кратный предел)

Расписываем определение по Коши подробнее

Предел в точке по направлению

-вектор

=1

(t)=f()

Замечание

Если пределы по каким-либо двум направлениям существуют и различны, то предела по их совокупности не существует.

Теорема

Если , то

Доказательство

Берём Дано,

Берём и рассмотрим

Вопрос 25. Повторные и двойные пределы.

Пусть дано некоторое множество M в m-мерном пространстве, и точка Mo является его точкой сгущения. Тогда из M всегда можно извлечь такую последовательность отличных от Мо точек, которая сходилась бы к Мо как к предельной точке.

Кроме предела функции при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, приходится иметь дело и с пределами другого рода, получаемыми в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. Первый предел называетсяn-кратным(илидвойным, тройными т. д. — при n = 1,2,3,...,n), а послед­ний —повторным.

Ограничимся для простоты случаем функции двух переменных f(х,y). Допустим к тому же, что область изменения перемен­ныхх,утакова, чтох(независимо от y) может принимать любое значение в некотором множестве для которогоаслужит точкой сгущения, но ему не принадлежит, и аналогичноу(неза­висимо отх) изменяется в множествеYс точкой сгущенияb, не принадлежащей ему. Такую область можно было бы символи­чески обозначить, как например, (а, а + Н;b,b+k) = (a, а + Н)x(b,b+k).

Если при любом фиксированном уизУсуществует для функцииf(x, у) (которая оказывается функцией лишь отx) предел прих->а, то этот предел, вообще говоря, будет зависеть от на­перед фиксированного у:

Затем можно поставить вопрос о пределе функции F(у) при у->b:

Это и будет один из двух повторных пределов. Другой получится, если предельные переходы произвести в обратном порядке:

Не следует думать, что повторные пределы эти необходимо равны. Может случиться также, что один из повторных пределов существует, а другой—нет.

Теорема.

Если 1)существует (конечный или нет) двой­ной предел

И 2)при любом у из У существует (конечный) простой пре­дел по х

то существует повторный предел

равный двойному.

Докажем это для случая конечных А, а и Ь. Согласно опреде­лению предела функции, по заданному ε>0 найдется такое δ>0, что

лишь только (причем х беретсяXиз а у из У). Фиксируем теперь у так, чтобы выполнялось неравенство ,и перейдем в (1) к пределу, устремив х к а. Так как, ввиду 2),f(x, у) при этом стремится к пределу ϕ (у), то получим

Вспоминая, что у здесь есть любое число из У, подчиненное лишь условию приходим к заключению, что

что и требовалось доказать.