Вопрос 19. Свойство компактности в метрическом пространстве.

Покрытие – это семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Подпокрытие– подмножество покрытия, покрывающее заданное множество.

К включён в (X,p).K–компакт(компактное множество) в (X,p), если из любого покрытия множестваKоткрытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Топологическое пространство F называется хаусдорфовым, если любые две различных точки u, v из F обладают непересекающимися окрестностями O(u), O(v).

Свойства:

1. K– ограничен в (X,p)

2. K– замкнут в (X,p)

3. Для любого Fвключенного вK,Fзамкнутого в (X,p):F– компакт в (X,p)

Доказательство:

1. Нам нужно указать шар, целиком содержащий компакт K. ПустьaпринадлежитX– произвольная точка. Всевозможные открытые шарыB_r(a) с центром в этой точке образуют, очевидно, открытое покрытие всего пространстваMи, в частности, множестваK. Так как множествоKкомпактно, то у этого покрытия найдётся конечное подпокрытие. Пусть, например,Kвключено в пересечениеBr₁(a),Br₂(a), …,Br_k(a) для некоторыхr₁, …,r_k >0. Тогда в качестве искомого шара можно взять наибольший из шаровBr_i(a). Ясно, чтоAвключено вB_R(a), гдеR=max(r₁, …,r_k).

2. Всякое метрическое пространство хаусдорфово. Докажем, что X\Kоткрыто. Для этого достаточно найти для произвольной точкиx_o из дополнения кKокрестность, которая не пересекалась бы с множествомK. В силу хаусдорфовости пространстваXу каждой точкиxпринадлежащейKнайдётся окрестностьU(x), не пересекающаяся с некоторой окрестностьюV(x) точкиx_o.

Всевозможные окрестности U(x), очевидно, образуют покрытие множестваK,Kвключено в объединениеU(x), гдеxпринадлежитK.

В силу компактности множества Kу этого покрытия найдётся некоторое конечное подпокрытие,Kпринадлежит объединениюU(x₁),U(x₂), …,U(x_k) для некоторых точекx₁,x₂, …,x_kпринадлежащихK. Теперь в качестве искомой окрестности точкиx_o можно взять открытое множество пересеченийV(x₁),V(x₂), …,V(x_k)/* это другиеx_i*/; оно не пересекается не только с множествомA, но даже с большим множеством объединенийU(x₁),U(x₂), …,U(x_k). (Действительно, пустьx, принадлежащая пересечениюV(x₁),V(x₂), …,V(x_k), произвольная точка. Так как она принадлежит каждому из множествV(x₁),V(x₂), …,V(x_k), то она не принадлежит ни одному из множествU(x₁),U(x₂), …,U(x_k). Значит, она не принадлежит и их объединению.)

3. В силу определения компактности достаточно из произвольного покрытия {U(a)}_{a из K} множестваKоткрытыми вXмножествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множествоX\Kи получим открытое покрытие всего пространстваX. В силу компактности пространстваX, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можем считать, что это покрытие входит в множествоX\A. Пусть, например,

X = объединению U(a₁), U(a₂), …, U(a_k), (X\A).

Очевидно, что множество U(a₁),U(a₂), …,U(a_k) образует искомое конечное подпокрытие множестваA.

Вопрос 20. Компактность m-мерного отрезка.

Определение. Брус (параллелепипед или m-мерный отрезок) П = произведения(k=1..n)[a_k, b_k] в Rⁿ.

Теорема. Любой брус П в Rⁿ – компакт.

Теорема Бореля-Лебега.Пусть X – замкнутое ограниченное множество в пространстве Rⁿ. Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество X, можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество X.

Доказательство: Пустьm-мерный отрезокM=[a₁,b₁][a₂,b₂]…[a_m,b_m] покрыт бесконечной системойSm-мерных интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов изSне покрывает данный отрезок. Разделим отрезокMпополам в мерности, гдеb_i-a_iмаксимально, на два равных отрезка: …[a_i,b_i - (b_i -ai)/2]… и …[a_i + (b_i -a_i)/2,b_i]…. По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов изS. Обозначим егоM_k=…[a_i1,b_i1]…, гдеkчисло выполненных делений и повторим для него процедуру деления пополам.

Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из S. Но если c — точка, в которую стягиваются отрезки, то, поскольку c лежит на отрезке M_k, она должна входить в некоторый интервал s системы S. Тогда все отрезки последовательности M_n, начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом s. Полученное противоречие доказывает справедливость теорема Бореля-Лебега.

Исходя из замкнутости и ограниченности бруса по теореме Бореля-Лебега брус компактен.