Вопрос 10.Интегрируемость непрерывной функции
Теорема. Если функцийfнепрерывна на отрезке [a,b] то она интегрируема на этом отрезке
Доказательство:
В силу
теоремы Кантора функция fравномерно непрерывна на [a,b].Возьмем
произвольное𝜀>0,
тогда из равномерной непрерывности
функцииfна [a,b]
следует, что для любыхx’,x’’𝜖[a,b],
удовлетворяющих условию |x’-x’’|<𝛿выполняется |f(x’)-f(x’’)|<
.
Если взять разбиение Т такое, что 𝜆(T)<𝛿, ввиду того, что
𝜔(f(x),[xk,xk+1])=𝜔k(f)<
Имеем
Следовательно, по критерию интегрируемости (критерий Римана)
Функция fинтегрируема на отрезке [a,b]
Вопрос 11. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва.
Если f – ограничена на [a,b] и имеет конечное число точек разрыва, то f интегрируема на [a,b]
Доказательство.
Не уменьшая общности, можно считать,
что у функции f
на отрезке [a,b]
лишь одна точка разрыва и этой точкой
является a
(см. рис. 9.6.1). Докажем, что для этой
функции выполняется критерий
интегрируемости Римана. Возьмем любое
,
выберем точку
такую, чтобы
Рис. 9.6.1
На отрезке [
]
функцияf
интегрируема как непрерывная,
следовательно, по критерию интегрируемости,
по заданному
найдётся разбиение
отрезка [
],
при котором
Если
теперь рассмотреть разбиение
отрезка
[a,b],
то в силу (рис. 9.6.1) и (рис. 9.6.2)
Следовательно, по критерию интегрируемости, функция f интегрируема на [a,b].
Вопрос 12. Интегрируемость функции, монотонной на отрезке.
Если f – монотонна на [a,b], f – интегрируема на [a,b].
Доказательство.
Пусть функция f
монотонно возрастает на [a,b]
и
.
Возьмем любое
и разбиениеT
отрезка [a,b],
от которого потребуем, чтобы его мелкость
.
Из монотонностиf
следует, что
Следовательно,
Отсюда, по критерию интегрируемости, функция f интегрируема на [a,b].
Вопрос 13. Теоремы о среднем для интеграла.
Теорема 1. Пусть
функции f
и g
интегрируемы на отрезке [a,b],
на [a,b],
на [a,b].
Тогда
Доказательство.
По свойству 6 интеграла функция fg
интегрируема на отрезке [a,b].
Умножая неравенство
на
,
получим
Интегрируя его по отрезку [a,b], используя свойства интеграла, получим требуемое неравенство.
Следствие.
Пусть функция
f
интегрируема на отрезке [a,b]и
на [a,b].
Тогда
Доказательство.
В теореме 1
нужно взять
.
Теорема 2.
Пусть функция
f
непрерывна на отрезке [a,b],
функция
интегрируема на отрезке [a,b].
Тогда существует
такое, что выполняется
Доказательство.
Так как функция f
непрерывна на отрезке [a,b],
то у нее существуют
(см. рис. 9.8.1). В силу предыдущей теоремы
имеют место неравенства
Рис. 9.8.1
Если интеграл
,
то за ξ можно взять любую точку из отрезка
[a,b]
и
Если
,
то
Таким образом,
В
силу теоремы Коши о промежуточных
значениях существует
такое, что
.
Отсюда получаем требуемое равенство.
Следствие.
Пусть функция
f
непрерывна на отрезке [a,b].
Тогда существует
такое,
что
Доказательство.
В предыдущей теореме нужно положить
.
Вопрос 14. Свойства интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.
Пусть функцияfинтегрируема на [a,b]. Функция
называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.
Теорема 1.Пусть функцияf(t) интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда интеграл с переменным верхним пределом интегрированияF(x) непрерывен на отрезке [a,b].
Доказательство.Так как функцияfинтегрируема на отрезке [a,b],
то она ограничена на нем, т. е. существует
число
такое, что для всех
.
Пусть
– любая точка из [a,b]и
ε > 0 – произвольное. Используя свойства
интеграла, получим
Следовательно,
Итак, для
заданного ε > 0 число
таково, что для всехxсо
свойством
т. е. функция F(x) непрерывна в точкеx0.
Теорема 2.Если функцияfинтегрируема на отрезке [a,b]и
непрерывна в точке
,
то функцияFдифференцируема
в точке
и
Доказательство.Ввиду непрерывности
функцииfв точке
для любого
существует
такое, что для всех
выполняется
.
Тогда для любого
выполняется
Итак,
что, по
определению, означает дифференцируемость
функции F(x)
в точке
.
Теорема 3 (существование первообразной).Пусть функцияfнепрерывна на отрезке [a,b]. Тогда функция
является первообразной для функции fна отрезке [a,b].
Доказательство.Изтеоремы 9.9.2следует, что
а это, по определению, означает, что F(x) является первообразной функцией дляf(x) на отрезке [a,b].
Теорема 4 (Ньютона - Лейбница).Если функция f непрерывна на отрезке [a,b]и Ф есть ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула
Таким образом, для вычисления определенного интеграла по отрезку [a,b] от непрерывной функцииfследует вычислить значения произвольной ее первообразной Ф в точкахbиaи вычесть из первого значения второе.
Доказательство.Изтеоремы
9.9.3следует, что функция
есть первообразная для функцииfна отрезке [a,b].
Следовательно, любая другая ее
первообразная Ф(x) имеет
вид
поэтому
Отсюда следует требуемое равенство.
Полученная формула называется основной формулой интегрального исчисления, которую часто записывают в виде
где введено обозначение
Эту теорему можно переформулировать следующим образом.
Теорема 5.Если функцияF(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], то
Для доказательства достаточно применить
теорему Ньютона - Лейбница к функции
.