Вопрос 8. Критерий интегрируемости

А)в терминах s(T),S(T)

Б)I_*,I^*

Полезным для дальнейшего является понятие колебания функции fна отрезке (𝛼,𝛽):

𝜔 (f,[𝛼,𝛽]) =sup f(x)-inf f(x)=M-m

В частности

𝜔(f,[x_k,x_k+1])=𝜔_k(f)=M_k-m_k.

Следовательно,

S(T)-s(T)=

Сформулируем необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [a,b]

Теорема (Критерий Римана).

Для того чтобы ограниченная функция fбыла интегрируемой на отрезке [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для любого>0 нашлось такое разбиение Т отрезка [a,b], при которомS(T)-s(T)<𝜀(или<𝜀)

Замечание 1

Из этого условия следует, что интегрируемость функции fравносильна тому, что для любого𝜀>0 найдется разбиение отрезка [a,b], при котором график функцииfможно поместить в «змейку», составленную из прямоугольников общей площади меньше𝜀(см. рисунок)

Доказательство.

Необходимость. <=

Из определения интегрируемости функции fна [a,b] следует, что для любого𝜀>0 найдется𝛿>0 такое, что для всех разбиений Т𝜖, мелкость которых𝜆(Т)<𝛿, и для всех_к𝜖[x_k,x_k+1],k=0,…,n-1, выполняется условие

I-𝜀/3<<I+𝜀/3

Переходя к supиinfв этих неравенствах по_к𝜖[x_k,x_k+1],k=0,…,n-1 и воспользовавшись свойством 1 сумм Дарбу, получим

I-𝜀/3s(T)

Отсюда

S(T)-s(T)I+𝜀/3-(I-𝜀/3)=2𝜀/3<𝜀

Достаточность. =>

Пусть 𝜀>0 произвольно и Т𝜖– такое разбиение отрезка [a,b], при которомS(T)-s(T)<𝜀. По свойствамs(T),S(T),I_*,I^*имеем (см. рисунок)

s(T)I_*I^*S(T)

Отсюда, по условию теоремы,

I^*-I_*S(T)-s(T)<𝜀

Следовательно, ввиду произвольности 𝜀>0, имеемI_*=I^*=I.

Докажем теперь, что функция fинтегрируема на [a,b] и интеграл от нее равен числуI. Возьмем произвольное𝜀>0, тогда по лемме Дарбу существует𝛿(𝜀)>0 такое, что для любого разбиения Т𝜖отрезка [a,b] мелкостью𝜆(Т)<𝛿(𝜀) выполняется

I-𝜀<s(T)S(T)<I+𝜀.(1)

В силу того, что для любого _k𝜖[x_k,x_k+1],k=0,…,n-1,

s(T) из неравенства (1) имеем

I-𝜀<

Вопрос 9.Свойства интеграла Римана

1. Пусть функция fинтегрируема на отрезке [a,b]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [a₁,b₁][a,b].

2. Пусть a<c<b. Тогда, если функцияfинтегрируема на отрезках [a,c] и [c,b], она интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место равенство

3. Пусть функции fиgинтегрируемы на отрезке [a,b]. Тогда их суммаf(x)+g(x) также интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место равенство

4. Пусть функция fинтегрируема на отрезке [a,b], аC-константа. Тогда функция Сf(x) интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место равенство

5. Пусть функции fиgопределены на отрезке [a,b], причем функцияfинтегрируема на отрезке [a,b], а функцияgотличается от функцииfв конечном числе точек. Тогда функцияgтоже интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место равенство

6. Если функции fиgинтегрируемы на отрезке [a,b], то их произведениеfgтоже интегрируемо на отрезке [a,b].

7. Пусть функция fинтегрируема на отрезке [a,b] иf0. Тогда

8. Пусть функция fинтегрируема на отрезке [a,b]. Тогда функция |f| интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место неравенство

Докажем некоторые из перечисленных свойств.

1)Пусть задано произвольное 𝜀>0. В силу критерия интегрируемости функцииfна отрезке [a,b] существует разбиение Т, при которомS(T)-s(T)<𝜀. Пусть Т` - разбиение отрезка [a,b], полученное из разбиения Т добавлением точекa<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>, т.е. Т’ =T{a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>}T. Пусть теперь Т<sub>1</sub>-разбиение отрезка [a<sub>1</sub>,b<sub>1</sub>], образованное точками разбиения Т`, принадлежащими отрезку[a₁,b₁][a,b]. Тогда

S(T₁)-s(T₁)=.

Поскольку TT’, то по свойствам сумм Дарбу

s(T)s(T’)S(T’)S(T)

и, следовательно,

S(T’)-s(T’)S(T)-s(T), т.е.

Итак, нашлось разбиение T₁отрезка [a₁,b₁], при котором

Следовательно, функция fинтегрируема на отрезке [a₁,b₁] по критерию интегрируемости (теорема 9.5.1)

5)Рассмотрим функцию

u(x)=g(x)-f(x),

u(x)=0 на отрезке [a,b], за исключением конечного числа точек₁,₂,…,_p. Возьмем любое𝜀>0, а𝛿=𝜀/2pM. ПустьM=max{|u(x₁)|,…,|u(x_p)|} иT– разбиение отрезка [a,b] настолько мелкое, что каждая из точек ₁,₂,…,_pпринадлежит не более чем двум отрезкам разбиения Т(либо она лежит внутри – тогда одному отрезку, либо на границе – тогда двум отрезкам) и𝜆(Т)<𝛿. Тогда для функцииu(x) имеем

S(T)-s(T)=

Отсюда, по критерию интегрируемости, функция u(x), а следовательно, и функцияg(x)=f(x)+u(x) интегрируемы на отрезке [a,b]. Из неравенств

Следует

, и поэтому

Замечание1.

Если у интегрируемой функции fна отрезке [a,b] изменить значения в конечном числе точек, то она останется интегрируемой, и величина интеграла не изменится.

6)Поскольку функции fиgинтегрируемы на отрезке [a,b], то они ограничены на нем. Следовательно, существуетM>0 такое , что дляx𝜖[a,b] : |f(x)|Mи |g(x)|M. Тогда в силу критерия интегрируемости для любого𝜀>0 найдутся разбиения Т₁и Т₂, при которых

S_f(T₁)-s_f(T₁)<, S_g(T₁)-s_g(T₁)<

Возьмем разбиение T=T₁T₂. Поскольку разбиение Т отрезка [a,b] является измельчением разбиений Т₁,Т₂, по свойствам сумм Дарбу для функцийfиgимеет место

s(T₁)s(T)S(T)S(T₁).

Отсюда

S(T)-s(T)S(T₁)-s(T₁).

Поэтому

S_f(T₁)-s_f(T₁)S_f(T₁)-s_f(T₁)<

Итак,

Где 𝜔_k(f)- колебание функции на [x_k,x_k+1],

Где 𝜔_k(g) колебание функции на [x_k,x_k+1]

Докажем теперь, что для колебания 𝜔_k(fg) функцииf(x)g(x) на отрезке [x_k,x_k+1] имеет место неравенство

𝜔_k(fg)M(𝜔_k(f)+𝜔_k(g)).

Возьмем любые ,,𝜖[x_k,x_k+1], тогда

f()g()-f()g()=f()g()-f()g()+f()g()-f()g()=f()[g()-g()]+g()[f()-f()].

Поэтому

|f()g()-f()g()|M|f()-f()|+M|g()-g()|

Следовательно, по свойству 4 сумм Дарбу и свойству точных границ

𝜔_k(fg)=f(_k)g(_k) –f(_k)g(_k)=[f()g(_k)-f(_k)g(_k)]=

|f()g(_k)-f(_k)g(_k)|M[|f()-f()|+|g(_k)-g(_k)|]=[снова по свойству 4]=M[-f()]+M[-g()]=M(𝜔_k(f)+𝜔_k(g)).

Поэтому по построению разбиения T=T₁T₂, имеем

=M(∆x_k + )<M()

Следовательно, по критерию интегрируемости, произведение функций f(x)g(x) интегрируемо на отрезке [a,b]

Замечание 2

Вообще говоря, интеграл от произведения функций не равен произведению интегралов т.е.