Вопрос 5. Необходимое условие интегрируемости функции.

Теорема. Необходимое условие интегрируемости

Если fинтегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке

Доказательство

Пусть функция fне ограничена на отрезке [a,b], но интегрируема на нем. Тогда согласно определению интегрируемости, с одной стороны,

Для какого-то разбиения Т𝜖при заданном𝜀>0 и любом выборе_k𝜖[x_k,x_k+1]. С другой стороны (см рисунок) найдется отрезок разбиения [x_k,x_k+1] на котором функцияfне ограничена и, следовательно, слагаемоеf(_k)∆x_k, а поэтому и вся сумма, выбором точки_к могут быть сделаны сколь угодно большими.

Ограниченность функции есть лишь необходимое условие ее интегрируемости. Достаточно рассмотреть в качестве примера функцию Дирихле

D(x)=

Очевидно, что эта функция ограничена на любом отрезке числовой прямой, но не интегрируема на нем, так как при любом разбиении этого отрезка при выборе точек _k,k=0…n-1, рациональными числами интегральная сумма равна длине отрезка, а при выборе иррациональными – равна нулю.

Вопрос 6. Суммы Дарбу и их свойства.

Введение в рассмотрение сумм Дарбу позволяет существенно упростить проверку интегрируемости функции. Пусть задано произвольное разбиение Tотрезка [a,b] и

Верхняя сумма Дарбу есть

S(T)=

Нижняя сумма Дарбу есть

s(T)=

На рисунке заштрихована светлой штриховкой фигура, площадь которой численно равна s(T).

Свойства сумм Дарбу

1)Справедливы следующие соотношения:

2)Если все точки разбиения Т отрезка [a,b] входят в число точек разбиения Т’ того же отрезка [a,b], то говорят что разбиение Т’ является измельчением разбиения Т, и пишут: ТТ’, то

S(Т’),s(T)

Таким образом, при добавлении к разбиению Т дополнительных точек разбиения верхняя сумма Дарбу может только лишь уменьшится, а нижняя сумма Дарбу – только лишь увеличиться.

Из рисунка видно что при добавлении точки x’ в число точек разбиения Т верхняя сумма Дарбу уменьшится на величину площади незаштрихованного прямоугольника

3)для любых разбиений Т₁ и Т₂ отрезка [a,b]

m(b-a)=s(T₀)

Таким образом, множества чисел s(T₁)иS(T₂) при любых Т₁и Т₂расположены так, как показано на РИСУНКЕ (3)

Вопрос 7. Лемма Дарбу-Римана.

Теорема.

Пусть функция fограничена на отрезке [a,b]. Тогда для любого𝜀>0 найдется такое𝛿(𝜀)>0, что для любого разбиения Т отрезка [a,b] с мелкостью разбиения𝜆(Т)<𝛿(𝜀) выполняется

I_*-𝜀<s(T)S(T)<I^*+𝜀.

Доказательство:

Пусть 𝜀>0 произвольно и

(при М=mутверждение очевидно, так какs(T)=S(T)=I_*=I^*=M(b-a)).

Из определения I_*и точной верхней границы множества следует, что существует такое разбиениеT₁𝜖, при котором

I_* - <s(T₁).

Пусть p– количество точек разбиения Т₁внутри интервала (a,b). Зададим число𝛿₁(𝜀)=>0 и возьмем любое разбиение Т={x₀,x₁,…,x_n} отрезка [a,b], мелкостью которого𝜆(Т)<𝛿₁(𝜀). Построим разбиение Т’=TT₁. По второму свойству сумм Дарбу, так какT₁T’

I_* - <s(T₁)s(T’).

Предположим, что точка x’ из разбиенияT₁попала внутрь отрезка [x_k,x_k+1] разбиенияT₁. Тогда имеют место следующие неравенства:

M_k

m_k

Поэтому s(T’)s(T)+p(M-m)𝜆(T)<[по выбору 𝜆(T)]< S(T)+p(M-m)𝛿₁(𝜀)=s(T)+

Окончательно имеем

I_*- <s(T)+

Т.е. I_*-𝜀<s(T) для любого разбиения Т мелкостью меньше𝛿₁(𝜀). Аналогично для данного𝜀>0 найдется𝛿₂(𝜀) такое, что для всех разбиений Т мелкостью меньше𝛿₂(T) выполняетсяS(T)<I^*+𝜀. Выбирая теперь𝛿(𝜀)=min(𝛿₁(𝜀),𝛿₂(𝜀)), получим требуемое: для любого Т с мелкостью𝜆(T)<𝛿(𝜀) выполняется

I_*-𝜀<s(T)S(T)<I^*+𝜀

Замечание

=I^*