Вопрос 1. Первообразная и ее общий вид

Функция F, определенная на конечном или бесконечном промежуткеE𝜖называетсяпервообразной функции, или первообразной, функцииfна промежуткеE, если она дифференцируема на нем и имеет место равенствоF’(x)=f(x) для каждогоx𝜖E.

Теорема

Если F– какая либо первообразная функцииfна промежуткеEто всякая функция вида Ф(х)=F(x)+Cтакже является первообразной для функцииfна промежуткеEи всякая первообразная функцииfпредставима в таком виде.

Доказательство

Пусть Ф и F– две первообразные для функцииfна промежуткеE, т.е. Ф’(x)=f(x) иF’(x)=f(x),x𝜖E. Следовательно,[Ф(х)-F(x)]’=Ф’(x)-F’(x)=0 на промежуткеE. Рассмотрим функцию(х)=Ф(х)-F(х). Эта функция имеет производную, всюду равную нулю. Возьмем любые точки х₁,х₂𝜖E. Функцияудовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x₁,x₂] (непрерывна на [x₁,x₂], дифференцируема на (х₁,х₂)).Следовательно, по этой теореме существует𝜖(х₁,х₂) такая, что𝜑(x₁)-𝜑(x₂)=𝜑’(x)(x₁-x₂)=0. Отсюда следует, что𝜑(х)constнаE. Следовательно, Ф(х)=F(x)+C. Итак, все первообразные дляf(x)=2xесть Ф(х)=х²+С.

Пусть функция fимеет первообразную на некотором промежуткеE. Неопределенным интегралом от функцииfна промежуткеEназывается совокупность всех первообразных функций дляfнаE, и она обозначается.Поэтому

,

Где F– одна из первообразных дляfнаE.

Вопрос 2. Свойства неопределенного интеграла

1)Если функция Fдифференцируема на промежуткеE, то

Доказательство:

Fпервообразная дляF’

2)Пусть для функции fсуществует первообразная на промежуткеE, тогда

Доказательство:

где F первообразная на E

3)Если функции f₁иf₂ имеют первообразные на промежуткеE, то функцияf₁+f₂тоже имеет первообразную наE, и имеет место равенство

Доказательство:

Пусть F₁ первообразнаяf₁на Е,F₂ первообразнаяf₂на Е

1)F₁(x)+F₂(x) –первообразнаяf₁(x)+f₂(x) на Е

Берем

2)Берем ;F(x)=F₁(x)+C₁+F₂(x)+C₂

F(x)=F₁(x)+F₂(x)+C 𝜖

Обратное аналогично

4)Пусть fимеет первообразную на Е. Тогдаkf(x) имеет первообразную наEи

Доказательство

1)Пусть Fпервообразнаяfна Е, тогдаkF(x) – первообразнаяkf(x) на Е

Берем x𝜖E(kF(x))’=kF’(x)=kf(x)

2)Берем

Ф(x)=kF(x)+C=k(F(x)+)𝜖 k*

Берем

Ф(x)=k*(F(x)+C)=KF(x)+kc𝜖

Вопрос 3. Интегрирование заменой переменной и подстановкой в неопределенном интеграле

Теорема.Пусть функцииf(u) иu=(x) определены на некоторых промежутках, что имеет смысл сложная функцияf[]. Пусть функцияfимеет первообразнуюF, а функциядифференцируем, тогда функцияf[(x)]’(x) имеет первообразную Ф(х)=F[(x)].

Доказательство.ФункцииFиfопределены на одном промежутке, следовательно, имеет смысл сложная функцияF[(x)]. По правилу вычисления производной сложной функции имеем

Таким образом, функция f[]имеет в качестве одной из своих первообразных функциюF[].

Замечание. Формула (1) называется еще формулой интегрирования подстановкой, так как учитывая, что

Ф(х)+С=F[(x)]+C=F[u]+C=, Ф(х)+С=, ей можно придать следующий вид:

.

Равенство 2 понимается так: для вычисления интеграла сначала вычисляют, а затем подставляют вместо переменной и функциюu=.

Вопрос 4. Интегрирование по частям неопределенного интеграла

Если функции u и vдифференцируемы на некотором промежуткеEи существует первообразная дляu’vнаE, то существует первообразная дляuv’ наEи имеет место формула

Доказательство.

(u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x). Следовательно,u(x)v’(x)=(u(x)v(x))’-u’(x)v(x). Первообразная правой части этого равенства существует наE, поэтому существует первообразная наEи для и для левой частиu(x)v’(x).

Формула интегрирования по частям (1) следует из равенства

Замечание. Учитывая равенства du=u’(x)dx,dv=v’(x)dx, формулу интегрирования по частям можно записать в таком виде: