Тема: Плоскость в пространстве

1. Уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и , не лежащие на одной прямой, имеет вид .

2. Плоскости, заданные общими уравнениями  и  перпендикулярны при условии, что .

3. Расстояние от точки  до плоскости  находится по формуле .

4. Уравнение плоскости, проходящей через точку  с нормальным вектором , имеет вид: .

5. Общее уравнение плоскости, параллельной оси , имеет вид: .

6. Нормальное уравнение плоскости имеет вид: , где , ,  – направляющие косинусы нормали плоскости, направленной из начала координат в сторону плоскости;  – расстояние от начала координат до плоскости. Общее уравнение плоскости  приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель , знак которого берется противоположным знаку свободного члена .

7. Угол, образованный двумя плоскостями  и , определяется из соотношения .

Нормальное уравнение плоскости  имеет вид …

Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно прямой , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку  с нормальным вектором , имеет вид: . Так как эта плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно использовать направляющий вектор этой прямой, то есть . Тогда  или .

Тема: Плоскость в пространстве Плоскость проходит через точку  и отсекает на осях абсцисс и ординат в положительных направлениях отрезки длины 3 и 5 соответственно. Тогда общее уравнение плоскости имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости «в отрезках» имеет вид , где  – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях ,  и  соответственно. Подставим в это уравнение значения ,  и координаты точки : . Тогда  и общее уравнение плоскости примет вид .

Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно прямой , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку  с нормальным вектором , имеет вид: . Так как эта плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно использовать направляющий вектор этой прямой, то есть . Тогда  или .

Тема: Плоскость в пространстве Угол между плоскостями  и  равен …

Решение: Угол, образованный двумя плоскостями  и , определяется из соотношения . Тогда ,  или .

Тема: Плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно векторам  и , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку  с нормальным вектором , имеет вид: . В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение векторов  и . Тогда , или . Подставляя в уравнение плоскости координаты точки  и вектора , получим:  или .

Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости , имеет вид …

Тема: Плоскость в пространстве Плоскость, проходящая через точки  и  параллельно оси , задается уравнением …

Решение: Общее уравнение плоскости, параллельной оси , имеет вид: . Точки  и  лежат в искомой плоскости, следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению : , отсюда , . Подставим найденные значения в уравнение плоскости:  или , то есть .

Тема: Прямая на плоскости Площадь треугольника, образованного пересечением прямой  с осями координат, равна …

			54
			36
			12
			9

Тема: Плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и , не лежащие на одной прямой, имеет вид . Подставим числовые значения в полученное уравнение: , или  . Раскрывая определитель по первой строке, получим , то есть .