Глава V. Дифференциальные уравнения и системы

§ 1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: применение формулы Тейлора

Задача Коши: Дано:— дифференциальное уравнение 1-го порядка;

—отрезок, на котором определена искомая y(x);

—начальное условие.

Найти: функцию y(x), удовлетворяющую уравнению и начальному условию.

Пусть f(x,y) — аналитическая в окрестности т.(x₀,y₀) (т.е. может быть представлена рядом по степеням (x – x₀) и (y – y₀).

Алгоритм:

1. Известна .

Найдем .

.

– – – – – – – – – – –

.

2. Подставляя (x₀,y₀) получим:

.

.

. (числовые значения)

.

– – – – – – – – – – –

.

3. По формуле Тейлора составим:

Замечание: Пусть R — радиус сходимости ряда . Если, то погрешность формулы не уменьшается при.

Дальнейшее обобщение алгоритма:

Пусть отрезок разбит наn частей, — точки деления (узлы).

1. На найдем.

Тогда .

2. На найдем.

Тогда .

И т.д.

n. На найдем.

Тогда .

Т.е. найден набор приближенных значений искомой функциив узлах.

§ 2. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта

Пусть отрезок разбит наn частей,

—точки деления (узлы), .

При m = 1, формула из § 1 имеет вид:

—формула Эйлера.

Методы Рунге-Кутта — класс методов, включающий в себя метод Эйлера.

Общая идея методов:

Пусть даны параметры:

q, ₂,…,_q; p₁,…,p_q; _ij, 0 < j < i  q.

Найдем последовательно:

– – – – – – – – – – – – –

Тогда

Т.е. находят последовательно по рекуррентной формуле

Частные случаи:

1) q = 1, p₁ = 1 — метод Эйлера.

2) q = 2, p₁ = =p₂; ₂ = 1 = ₂₁

Обоснование справедливости формулы:

Заменим интеграл квадратурной формулой трапеций

т.к. получаем

Заменим в правой части по формуле Эйлера

Тогда

3) q = 2, p₁ = 0, p₂ = 1; ₂ = =₂₁

Обоснование справедливости формулы:

Заменим интеграл квадратурной формулой прямоугольников

Заменим в правой части по формуле Эйлера

§ 3. Конечно-разностные методы

Задача: Дано:

Пусть отрезок разбит наn частей одинаковой длины h,

—узлы.

Найти: — значенияy(x) в узлах.

Явные конечно-разностные методы используют соотношения вида

где коэффициенты , подбираются так, чтобы формула была точна для многочленов наивысшей степени.

Неявные конечно-разностные методы используют соотношения вида

где новое значение y_k присутствует в обеих суммах.

Простейшие методы такого типа получаются на основе квадратурных формул интегрирования:

По формуле трапеций получаем

— неявный конечно-разностный метод.

Для использования формулы Симпсона применяют другое равенство

— неявный конечно-разностный метод.

Формулу прямоугольников применим также для равенства

—явный конечно-разностный метод.

Замечание: вторая и третья формулы имеют низкую сходимость, т.е. при уменьшении h погрешность уменьшается медленнее, чем в первой формуле.

§ 4. Уравнения второго порядка

I. Дифференциальное уравнение, в котором отсутствует.

Задача Коши: Дано:

, – начальные условия

Пусть отрезок разбит наn частей одинаковой длины h,

—узлы.

Найти: — значенияy(x) в узлах.

Для каждого узла выполняется

Заменим в левой части вторую производную формулой численного дифференцирования по трем точкам:

Правую часть заменим линейной комбинацией

Тогда получим формулу

явный метод.

Если правую часть заменим другой линейной комбинацией , то получим формулу

неявный метод.

Коэффициенты подбираются так, чтобы формула была точна для многочленов наивысшей степени.

Пример. Метод Нумерова — неявный метод, m = 1, четвертого порядка точности.

Вывод формулы методом неопределенных коэффициентов:

Нужно найти формулу

точную для y(x), являющейся многочленом до четвертой степени.

Пусть x_k = 0.

Для y(x) = x²

Для y(x) = x³

Для y(x) = x⁴

Получается система

Решение системы:

Применение метода:

1) По формуле Эйлера находим .

2) По рекуррентной формуле находим

.

II. Задача Коши: Дано:

, – начальные условия

отрезок разбит наn частей одинаковой длины h,

—узлы.

Найти: — значенияy(x) в узлах.

В ходе решения будут найдены также

значения в узлах.

Явный метод использует равенства

Неявный метод использует равенства

Пример. Явный метод, m = 0.