1. Ошибки при проверке гипотез

Принятие решения на основе статистического критерия носит случайный характер, поэтому не исключены ошибки. Возможны следующие ситуации.

1. Гипотеза верна, и она не отвергается. Все в порядке: наше решение отражает истинное положение.

2. Гипотеза верна, но она отвергается. В этом случае говорят, что допущена ошибка I рода. Поскольку нулевая гипотеза верна, статистика Z действительно имеет то распределение, на основании которого принималось решение. Тем не менее выборочное значение статистики попало в критическую область. Вероятность этого события по определению равна уровню значимости .

Вероятность ошибки I рода равна уровню значимости критерия.

Но уровень значимости задается произвольно. Поэтому в нашей власти снизить вероятность ошибки I рода до сколь угодно низкого уровня.

3. Гипотеза неверна, и она отвергается. Снова все в порядке: отвергнута неверная гипотеза.

4. Гипотеза неверна, но она не отвергается. Тогда говорят, что допущена ошибка II рода. В этой ситуации выборочное значение попало в область принятия решения, тогда как гипотеза на самом деле неверна. Если распределение статистики Z известно и в предположении, что верна альтернативная гипотеза , то можно посчитать вероятность ошибки II рода: это условная вероятность того, что Z попадает в область при условии, что верна гипотеза . Вероятность ошибки II рода обычно обозначают через

.

В большинстве случаев нельзя добиться минимального значения вероятностей и одновременно. Поступают обычно следующим образом: вероятность ошибки I рода фиксируется, а затем добиваются минимума вероятности ошибки II рода. За счет чего можно уменьшить при фиксированном значении ? Только за счет выбора критической области: при заданной альтернативе критическую область выбирают таким образом, чтобы значение (вероятность принять неверную гипотезу) было наименьшим из возможных. В этом случае вероятность отвергнуть неверную гипотезу максимальна. Это число называют мощностью критерия. Таким образом, задача состоит в построении наиболее мощного критерия при заданном уровне значимости.

2. Проверка гипотезы о функции распределения.

Пусть - выборка наблюдений некоторой случайной величины .

Гипотеза: : генеральная совокупность имеет функцию распределения F(x)

против альтернативы, что функция распределения не такова.

За меру расхождения примем величину

Теорема (Пирсона). Пусть т параметров функции распределения оцениваются по выборке. Тогда прираспределение меры расхождениястремится к распределениюсстепенями свободы

.

19. Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть результаты наблюдений составляют k независимых выборок (групп), полученных из k нормально распределенных генеральных совокупностей, которые имеют, вообще говоря, различные средние . Каждая группа содержитзначений,. Общее число наблюдений равно:

Проверяется гипотеза о равенстве средних во всех k выборках:

Нулевая гипотеза является сложной: предполагается лишь, что математические ожидания совпадают, о конкретном значении ничего не известно. Альтернативная гипотеза состоит в том, что хотя бы две выборки имеют различные средние.

Обозначим через -й элемент j-й выборки,. Групповое среднее :

Общее среднее

Основное тождество дисперсионного анализа

Общая сумма квадратов отклонений от среднего есть сумма квадратов между группами плюс сумма квадратов внутри групп.

.

,

Теорема Если нулевая гипотеза верна, то случайные величины,имеют распределениесоответственно с и степенями свободы.

Если нулевая гипотеза верна, то случайная величина распределена по закону Фишера с, степенями свободы.

Распределение Фишера строится на основе распределения :

При заданном уровне значимости а критическая область находится на правом хвосте распределения Фишера, то есть правее квантили порядка

Фактор, в соответствии с которым сгруппированы данные, можно признать статистически значимым, если выборочное значение статистики F удовлетворяет неравенству

.

В этом случае гипотеза о равенстве математических ожиданий не подтверждается экспериментальными данными.