2. Доверительный интервал. Общее понятие.

Пусть задано число , (уровень значимости, на практике обычно берут, или ). Пусть по выборке удалось построить интервал

удовлетворяющий равенству

.

Случайный интервал накрывает истинное значение параметра с заданной, достаточно большой вероятностью. Найденный интервал не зависит от значения параметра . Тогда интервал называют доверительным интервалом для параметра с доверительной вероятностью .

3. Доверительный интервал математического ожидания. Случай 1.

Дисперсия известна. Тогда, если всераспределены по нормальному закону, то выборочное среднее тоже имеет нормальное распределение и

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

,

где - квантиль стандартного нормального распределения,,- уровень значимости.

4. Распределение

(Читается «ХИ-квадрат»)

П

Рис. 2.

усть: ^- независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону:

.

Говорят, что сумма квадратов этих случайных величин распределена по закону с k степенями свободы. Эту случайную величину обозначают :

Запись также означает, что случайная величина распределена по закону с k степенями свободы. Графики плотности распределения при различных k изображены на рисунке.

Случайная величина имеет нулевую плотность распределения при .

При большом числе степеней свободы k распределение близко к нормальному.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону k степенями свободы, равно k:

5. Доверительный интервал для дисперсии

Теорема. Случайная величина распределена по закону с n-1 степенью свободы

Если генеральная совокупность распределена по нормальному закону и - выборочная дисперсия, то доверительный интервал для дисперсии имеет вид

6. Распределение Стьюдента.

Пусть случайная величина распределена по стандартному нормальному закону: . Разделим на корень из (то есть из случайной величины, распределенной по закону с k степенями свободы, деленной на k). Полученная случайная величина имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы. Данная случайная величина и соответствующий закон распределения обозначаются через :

Рис. 3

Графики плотности распределения Стьюдента при различном числе степеней свободы приведены на рис. 3. Пунктиром выделено нормальное распределение.

Некоторые свойства распределения Стьюдента.

Распределение Стьюдента симметрично, причем Mt(k) = 0.

При больших k распределение Стьюдента близко к стандартному нормальному распределению N(0,1).

7. Доверительный интервал математического ожидания. Случай 2.

Если дисперсия нормальной генеральной совокупности неизвестна, то доверительный интервал для математического ожиданияm имеет вид

где - квантиль распределения Стьюдента.

18. Понятие о теории проверки статистических гипотез.

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обычно обозначается. Наряду с рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу , то есть ту гипотезу, которая будет принята в случае, если нулевая гипотеза отвергается. Пусть, к примеру, рассматривается гипотеза о значении параметра т нормальной совокупности: : . Для этой гипотезы можно выдвинуть различные альтернативы:

Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Говорят, что такой подход к проверке статистических гипотез основан на статистическом критерии, или критерии значимости. Построение решающего правила на основе критерия значимости можно разбить на следующие основные шаги.

1. Сформировать нулевую () и альтернативную () гипотезы.

2. Назначить уровень значимости . В качестве уровня значимости обычно выбирается вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута. Поэтому - малое положительное число.

3. Выбрать статистику критерия для проверки гипотезы .

4. Найти плотность распределения статистики критерия в предположении, что гипотеза верна.

5. Определить на числовой оси критическую область из условия (условная вероятность того, что Z попадает в область , при условии, что гипотеза верна). Область в этом том случае называется областью принятия решения. Условия, задающие критическую область, называются просто критерием.

6. По выборке вычислить выборочное значение статистки критерия.

7. Принять решение:

• если, гипотеза отклоняется (то есть принимается гипотеза ):

• если , гипотеза не отклоняется.

Принятое решение носит вероятностный, случайный характер. Поэтому обычно применяют более осторожные формулировки. Вместо того чтобы сказать "гипотеза отклоняется, говорят: “данные эксперимента не подтверждают гипотезу ”, “гипотеза не согласуется с экспериментом”.

По поводу предложенной схемы можно заметить следующее.

Значение уровня значимости не определяет критическую область однозначно.

Зная плотность распределения статистики , можно выделить сколько угодно областей на числовой оси, вероятность попадания в которые равна . В частности, этому условию удовлетворяют области , или , где через обозначены квантили распределения статистики .

Именно эти критические области обычно и применяются. Критерий в этих случаях называют соответственно правосторонним, левосторонним или двухсторонним. На практике выбор критической области обычно определяется видом альтернативной гипотезы.