2. Дисперсия

Дисперсией конечной случайной величины называется число

.

Случайная величина распределена по закону

и, по определению математического ожидания, дисперсия вычисляется по следующей формуле:

Дисперсию иногда обозначают как или

называется среднеквадратичным отклонением или стандартным отклонением случайной величины .

1°. Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:

.

При этом тогда и только тогда, когда случайная величина постоянна.

2°. Константа выносится из-под знака дисперсии с квадратом:

.

3°. Сдвиг на константу не меняет дисперсии:

.

4°. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

( и независимы)

5°. Дисперсия равна "среднему квадрату минус квадрат среднего":

.

Случайная величина

называется стандартизованной (по отношению к ) или просто стандартизацией . Стандартизованная случайная величина имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

3. Коэффициент корреляции

Ковариацией двух случайных величин и (или ковариаиией между и ) называется число

Из определения вытекают следующие простые свойства ковариации:

1.

2. Ковариаиия коммутативна: .

3 .

4. .

Следующее свойство важно при оценке степени зависимости двух случайных величин.

5°. Если случайные величины и независимы, то их ковариация равна нулю.

Для независимых величин и их центрированные величины также независимы. Поэтому

,

Ковариация стандартизованных величин и называется коэффициентом корреляции между случайными величинами и :

,

Предполагается, что случайные величины и имеют ненулевые дисперсии. Справедливы следующие свойства коэффициента корреляции:

1. .

2. Коэффициенты корреляции между и и между их стандартизациями совпадают:

3.

4°. Если и независимы, то (если , то и зависимы).

5°. Коэффициент корреляции равен тогда и только тогда, когда случайные величины линейно зависимы:

.

14. Функция распределения, ее свойства.

Функция действительной переменной

называется функцией распределения случайной величины .

,

1. При любом х выполняется неравенство. Это справедливо, поскольку функция распределения есть вероятность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция.

3. При событие стремится к невозможному и вероятность соответственно стремится к нулю. При событие становится достоверным.

4. Функция распределения непрерывна слева, то есть

Вероятность попадания в отрезок равна

Случайная величина называется непрерывной случайной величиной, если существует функция такая, что

Функция называется плотностью вероятности или плотностью распределения случайной величины .

5. Для любой непрерывной случайной величины

.

6. Функция распределения непрерывной случайной величин имеет вид

Функция плотности распределения обладает следующими свойствами.

1. Функция неотрицательна при всех .

2. Условие нормировки. Справедливо равенство

3°. В точках непрерывности плотность вероятности равна производной функции распределения:

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число

(если соответствующий интеграл существует).

Дисперсия непрерывной случайной величины:

(если интеграл существует).

Квантилью случайной величины порядка называется число такое, что вероятность события равна . Квантиль порядка 0.5 (50-процентная квантиль) называется медианой распределения .

Модой распределения случайной величины называется точка локального максимума плотности распределения