4. Элементы комбинаторики

Число перестановок определяется функцией (n - факториал, произведение целых чисел от 1 до n). Иное определение факториала: .

Число расстановок

Число сочетаний

Некоторые свойства:

,

5. Основные теоремы: вероятность суммы событий, вероятность произведения.

Пусть и - несовместные события. Тогда , то есть эмпирическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме их эмпирических вероятностей..

Данное свойство выполняется для любого конечного набора попарно несовместных событий :

Пусть события образуют полный набор. Тогда

6. Классическое определение вероятности

Вероятностью Р(А) события называется отношение числа благоприятных исходов т(А) к общему числу несовместных равновозможных исходов:

Свойства вероятности.

I. Для любого случайного события А .

2. Пусть события и несовместны. Тогда.

7. Вероятность суммы событий в общем случае.

Даны два события A и B. Подсчитаем вероятность суммы событий по классической схеме.

m(A) – число исходов, благоприятных только событию A.

m(B) – число исходов, благоприятных только событию B.

m(AB) – число исходов, благоприятных событию A и событию B. Тогда сумме событий благоприятно m(A)+ m(B)+ m(AB) исходов и вероятность суммы событий равна

(7.1)

N – общее число исходов. С другой стороны

(7.2)

Вычтем из (7.2) выражение (7.1)

Отсюда находим формулу вероятности суммы событий:

8. Условная вероятность. Вероятность произведения событий.

Пусть известно, что в результате эксперимента произошло событие . Зная это, мы хотим подсчитать вероятность некоторого события _. Такую вероятность (при условии, что произошло событие ) называют условной вероятностью события и обозначают . Число исходов, благоприятных B обозначим через . Условная вероятность равна

Если разделить числитель и знаменатель на общее число исходов , мы придем к формуле

Свойства условной вероятности.

1. .

2. Если , то P(A|B)=1.

3. Для любого события с ненулевой вероятностью .

4. Если события и несовместны, то .

5. Теорема умножения .

Говорят, что событие А не зависит от события В, если .

9. Формула полной вероятности.

Теорема. Пусть события попарно несовместны и событие содержится в их сумме:

.

Тогда вероятность события можно вычислить по следующей формуле:

10. Формула для апостериорной вероятности (формула Байеса)

Теорема. Пусть события попарно несовместны и событиесодержится в их сумме:. Тогда присправедлива формула

11. Схема испытаний Бернулли.

Пусть в результате некоторого случайного испытания может произойти или не произойти определенное событие А. Если событие произошло, будем называть испытание успешным, а само событие - успехом. Испытание повторяется раз. При этом соблюдаются следующие условия:

• вероятность успеха в каждом испытании одна и та же;

• результат любого испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний.

Такая последовательность испытаний с двумя исходами (успех / неуспех) называется последовательностью независимых испытаний Бернулли или – схемой испытаний Бернулли

Формула Бернулли вероятности успехов в независимых испытаниях:

.

1. Локальная теорема Лапласа

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится вn испытаниях ровно k раз, приближенно равна

где