Лабораторная работа № 6

ДИСК, СЖАТЫЙ ПО ДИАМЕТРУ

Моделирующая задача. Диск, сжатый по хорде.

Воспользуемся решением, полученным для диска, сжатого по диаметру:

,

(1)

Рассмотрим диск, сжатый по хорде противоположными силами (рис.1).

Рис.1. Напряжения в диске: а) диск, сжатый по хорде CD; б) траектории главного напряжениядля диска, сжатого по диаметру.

Выпишем значения ииз (1) и определим значениявнутри диска. Так, дляполучим

. (2)

Найдем траекторию , отвечающую постоянной. Очевидно, выполняется равенство. (3)

Из (2) и (3) следует, что значение напряжения остается постоянным вдоль любой из траекторийи равным

(4)

Это утверждение является важным для определения напряженного состояния в диске, сжатом по хорде. Действительно, если в выражении для в (2) вместо постояннойположить постоянную, то траектория, отвечающая постоянной, удовлетворяет граничным условиям задачи. Таким образом (рис.1), если подR понимать половину расстояния CD, то решение для диска, сжатого по хорде CD , имеет вид

(5)

.

Для горизонтальной оси симметрии распределение иприведено на рис.2(a). Из (5) следует, что соотношения для m и есть (CD=2R)

(6)

Рис. 2. Диск, сжатый по хорде CD:

а) распределение ивдоль диаметраAB диска;

б) траектории главных напряжений.

Важно отметить, что решение (6) является точным решением рассматриваемой задачи, из которого следует, что нулевая полоса CFD проходит по окружности, диаметр которой равен CD(2R). Траектории главных напряжений при пересечении нулевой полосы переходят в траектории, что соответствует аналогичному переходу через нулевую полосу, например, при чистом изгибе кривого бруса. Формулы (6) могут оказаться полезными при рассмотрении других задач, и, особенно, для решения задачи о напряженном состоянии в диске, сжатом по диаметру.

Приведем некоторые данные оптических экспериментов для самостоятельных вычислений.

Рис. 3. Картина полос целого порядка в прямоугольной пластинке для зоны, ограниченной двумя дугами окружностей.

Рис. 4. Картина полос дробного порядка в прямоугольной пластинке для зоны, ограниченной двумя дугами окружностей.

Рис.5. Картины изоклин: а) в диске, сжатом по диаметру; б) в квадратной пластине, сжатой по диагонали

Рис.6. Графическое построение траекторий главных напряжений: а) поле направлений; б) траектории для диска, сжатого диаметральными силами.

Рис.7. Картина полос для диска, сжатого по диаметру.

Рис. 8. Картина полос для диска, сжатого по хорде.

Лабораторная работа № 7

КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Рассмотрим применение теоремы Менаже при качественном исследовании распределения значений σ₁ и σ₂ вдоль оси симметрии, в

Рис.1. Распределение значений σ₂ вдоль оси симметрии при одной экстремальной точке.

частности, в растягиваемой пластине с круговым отверстием (рис.1).

Нулевая изоклина проходит вдоль прямой ОА и вдоль кривой КМ'Р. Следовательно, напряжения σ_х и σ_у являются главными напряжениями. Определим, что σ_у = σ₁, а σ_х = σ₂. В точках М и М' на прямых ОА и О'А' нулевые изоклины пересекаются под прямым углом. Согласно теореме Менаже в этих точках напряжение σ₂ имеет экстремум. Но поскольку в точках 0 и А σ₂ равно нулю, то значение σ₂ либо всюду равно нулю на ОА, либо сохраняет знак и имеет в точке М экстремум. Знак σ₂ легко определить из уравнений Ламе-Максвелла по правилу, показанному на рис.1. Выберем направление S₁. Тогда направление S₂ совпадает с направлением оси 0x. Поскольку ρ < о, то

(1)

и следовательно, σ₂ будет положительным в окрестности точки 0. Кривая значений σ₂ изображенная на рис. 1, является типичной кривой для главных напряжений, параллельных плоскости симметрии при наличии ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ точки [1] .

Рис. 2. Картина полос в пластине, ослабленной отверстием.

Таким образом, чтобы разделить значения σ₁ и σ₂ достаточно определить значение σ₂ в точке М. Сделать это можно используя, например, метод "рапид". Используя теоретические значения σ₂ вдоль оси ОА найдем, что координата точки М равна а значение, где σ₀ - напряжения в удаленных от отверстия по оси у точках. В случае КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ пластины значение находится по формуле

(2)

Изучение КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ имеет определяющее значение в теории напряженного состояния. Во многих случаях, имеющих практический интерес, концентрации напряжений возникают на свободном контуре, где одно из главных напряжений равно нулю. Тогда метод фотоупругости позволяет по картине полос немедленно получить значение коэффициента концентрации напряжений:

(3)

Здесь n_max - наибольший порядок полосы в окрестности рассматриваемой точки, а σ_ном - номинальное или среднее напряжение в модели. Под σ_ном будем понимать среднее значение напряжения в ОСЛАБЛЕННОМ СЕЧЕНИИ. Так, для модели на рис. 2 σ_ном = P/2∙OA∙t, где t - толщина модели, а Р - равнодействующая приложенных сил. Для случая, когда ОА достаточно велико по отношению к диаметру 00' в точках 0 и О' коэффициент концентрации напряжений К равен 3, а в точках F и F' к= -1.

Рассмотрим напряженное состояние в кольце, сжатом по внешнему диаметру двумя противоположными силами.

Рис. 3. Картина полос для кольца.

Кольцо, сжатое по диаметру.

Здесь AB- ось симметрии, поэтому=0, а нормальные напряжения являются главными.

Рис. 4. Распределение напряжений по оси АВ кольца.

Рассмотрим как ведут себя и. На отрезкеABесть изотропная точкаM, в которой=(). По определению. Тогда

на участке AM:

на участке MB:

Врезультате имеем:

Численное решение для пластины с круговым отверстием и полукольца представлено на рис. 5 – 8.

Рис.5. Плоскость, ослабленная отверстием.

Рис. 6. Плоскость, ослабленная отверстием.

Рис. 7. Полукольцо.

Рис. 8. Полукольцо.

Картина полос для кольца с разрезом представлена на рис.9.

Рис. 9. Картина полос для кольца с разрезом.

Рис.10. Сплошное круговое кольцо под действием