Лабораторная работа № 5

ДЕЙСТВИЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ НА ПОЛУПЛОСКОСТЬ

Рассмотрим радиальные напряжения, возникающие в полубесконечной пластинке под действием нормальной сосредоточенной нагрузки (рис. 1). Составляющие напряжения в полярной системе координат, как известно, имеют вид

, ,.

Толщина пластинки равна 1. Площадки, имеющие наклон, соответствующий значению полярного угла , есть главные площадки и,. Картина изоклин представляет семейство прямых, траектории главных напряжений- окружностии- прямые -.

Рис.1. Радиальные напряжения.

Рис.2. Картина полос полубесконечной пластинки под нормальной сосредоточенной нагрузкой.

Нулевая полоса проходит по оси и задается, следовательно, уравнением.

Тогда, получим соотношения

, (1)

которые при расчете напряженного состояния могут заменить картину изоклин.

Получим аналитическое выражение для составляющих напряжения из картин полос. В качестве первой прямой естественно выбрать ось , где. За вторую прямую удобно выбрать ось симметрии, поскольку вдоль этой прямой. Порядок полос, на рис. 2 обратно пропорционален расстоянию от начала координат. На этом основании аппроксимируемфункцией, где.

Тогда, с учетом формул

,

получим

. (2)

Это дает для значений ив исследуемой области

, . (3)

Решение (3) совпадает с теоретическим решением при условии , которое может быть получено как из условия равенства суммы внутренних усилий внешней силе, так и при использовании цены полосы материала. В декартовой системе координат уравнение полос имеет вид, следовательно, полосы представляют систему окружностей, изображенных на рис. 2.

Для составляющих напряжения получим значения

, ,,. (4)

Полученное решение (3) или решение (4) легко распространяется на другие задачи, так как граничные условия для него будут выполняться не только для прямой , но и для прямых.

В частности, решение (3) и (4) без изменений переносится на случай наклонных сосредоточенных нагрузок, действующих на полуплоскость.

Второе семейство траекторий строится ортогонально первому (рис.3),

Рис.3. Траектории главных напряжений для полубесконечной пластинки с нормальной нагрузкой.

Рассмотрим решения, полученные методом фотоупругости.

Полуплоскость под действием нормальной сосредоточенной нагрузки.

Генерируем входной блок со следующими параметрами:

=0,3 ; =0,1 ;=0,02 ;=3 .

Количество входных точек = 20 .

Процент аппроксимации = 70 .

Для метода компенсации.

Решение, предоставленное программой:

Так же программа покажет теоретическую картину полос с расположением исследуемой прямой. Как для графиков, так и для картины полос можно изменить масштаб и область, выводимую на прорисовку.

Точками на графиках обозначены теоретические значения (только для тестовых задач).

В окне управления выберем параметр и кнопками “+”, “ - ” менять его значение. При этом программа, на каждом шаге, будет показывать решение, соответствующее решение. Установим=0,07 ;=0,21 ;=0,04 .

Рассмотримболее подробно. Для этого предусмотрен отдельный вывод графика на весь экран.

По такому графику можно делать более точные выводы о поведении функции. В частности здесь хорошо видны все “неровности” аппроксимации.

Приведем картины полос для полуплоскости и клина для проведения самостоятельных расчетов.

Рис. 3. Картина полос для полуплоскости.Рис. 4. Картина полос для клина.