Лабораторная работа № 4

АППРОКСИМАЦИЯ ДАННЫХ ОПТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Определим задачу, которая будет решена в ходе этой работы. Пусть дана модель произвольного плоского тела. Применяя метод фотоупругости необходимо решить для него задачу распределения нормальных и касательных напряжений и дать численную оценку полученным результатам для тестовых задач. Введем в исследуемую область систему координат , выберем прямую, вдоль которой требуется определить компоненты тензора напряжений,,. Без ограничения общности, будем считать, что прямаясовпадает с, причем приx=0 т.A, x=L т.B .

В качестве исходных данных получаем результаты поляризационно-оптического эксперимента:

1. - порядок полосы (разность хода) в точках ;

2. - параметр изоклины. . Непосредственно для расчетов использовать угол- нельзя. Но используя механические способы или дополнительные оптические эксперименты по углуопределяют угол, в точках.

Ставятся задачи:

определить ,,во всех точках прямой, методом разности касательных напряжений, во-вторых, для ускорения расчетов и повышения точности конечных результатов, использовать программу для вычисления касательных и нормальных напряжений;

для тестовых задач оценить эффективность работы программы путем сравнения полученных решений и известных решений математической теории упругости.

Метод разности касательных напряжений

Как указывалось в Методических указаниях, в исследуемой области введена прямоугольная система координат и выбрана прямаяАВ, вдоль которой требуется определить касательные и нормальные напряжения. Не ограничивая общности, будем считать, что прямаяАВсовпадает с осьюОх. Имеются данные эксперимента с указанными дополнениями - картины полос и картины изоклин на прямойАВ: значения разности хода (параметра полосы) в точкахи значения угла(параметр изоклины) между направлением и осьюОхв точках. Определяем значения касательного напряженияпо формуле:

для всех точек прямой АВ.

Пусть касательное напряжение определено вдоль прямой АВ. Найдем нормальные напряженияивдоль этой прямой. Решение этой задачи сводится к интегрированию одного из уравнений равновесия. Отметим, что для определенияиможно применять и другие методы, отличные от интегрирования одного из уравнений равновесия. Эти уравнения известны из плоской теории упругости и имеют вид:

Интегрируем первое уравнение системы, получим:

,

где -напряжение в начальной точке интегрирования (интегрирование ведется отBкA). Эту точку рекомендуется выбирать на свободном контуре, где напряжение известно и определяется по формуле:

.

Для определения используем формулу:

,

откуда получаем:

вдоль всей прямой.

Отметим следующее:

1) Прежде всего: поляризационно-оптический эксперимент позволяет получить значение функций итолько в конечном наборе точек. Поэтому для отыскания значений,,необходимо аппроксимировать функциии.

2) В алгоритме метода разности касательных напряжений присутствует определенный интеграл, и при практическом (численном) решении задачи можно использовать различные численные методы интегрирования.

3) Особую важность представляет подынтегральное выражение и для её отыскания необходимо знать значение самой функциив окрестности (по оси) исследуемой точки. Поступим следующим образом: введем еще две прямые, называя их «+» и « - » полосы, находящиеся на расстоянииот исходной прямой; ищемна трех полосах (прямых), в соответствующих точках, и положим.