Лабораторная работа № 2

ИЗГИБ БАЛОК

2.1. Чистый изгиб балки.

Из элементарной теории балки известно, что при чистом изгибе балки прямоугольного сечения, находящейся под действием постоянного изгибающего момента M, напряжения определяются по формулам

σ_х σ_{у = 0,} t_{ху = 0.} (1)

Здесь σ_х означает напряжение, относящееся к сечению, перпендикулярному к оси балки, и действующее в точке этого сечения на расстоянии y от нейтрального слоя балки, а I является моментом инерции площади этого поперечного сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через центр тяжести сечения.

Рис. 1. Картина полос при чистом изгибе.

Изохроматические линии являются равноотстоящими одна от другой линиями, параллельными оси балки. На рис. 1 воспроизведен снимок таких линий.

Линии главных нормальных напряжений идут параллельно и перпендикулярно к контуру балки, причем наименьшее главное напряжение равно всюду нулю.

Используя эти экспериментальные данные методом разности касательных напряжений (см. Методические рекомендации) легко показать, что напряженное состояние при чистом изгибе определяется равенствами (1).

Если же кривизна балки, вызванная нагрузкой, оказывается значительной, то распределение напряжений может не совпадать с тем, которое получается из теории упругости, основанной на гипотезе, согласно которой можно пренебречь квадратами и произведениями перемещений. В подобном случае мы можем встретиться с несимметричным распределением напряжений; нейтральная линия (нейтральная изохроматическая линия) смещается по направлению к более напряженной стороне балки.

2.2. Изгиб балки сосредоточенной силой.

Рассмотрим радиальные напряжениям в балке, свободно лежащих на двух опорах и нагруженной в середине пролета (рис. 2). Решение рассматриваемой задачи, полученное в рамках теории упругости, выписывается в виде интегральных соотношений. Однако это решение не позволяет получить аналитические уравнения для построения картины полос и изоклин. Лучшее приближение к точным данным напряжений достигается суперпозицией двух решений: радиальной системы напряжений, источником которой является сила , и

Рис.2

консольного изгиба участка ADEO силой , приложенной в точкеD.

Для радиальных напряжений имеем

, ,, (2)

где t- толщина пластинки. Для консольной балки значения напряжений в

Рис. 3.Изгиб консольной балки.

системе координат, изображенной на рис.2, получим на основании

,

,,. (3)

Картина полос для этого случая представлена на рис. 3.

Суммируя составляющие напряжений (2) и (3), получим, что ,,и значения,иявляются решением (приближенным) для этой задачи. Картина полос для изгиба сосредоточенной силой показана на рис. 4.

Рис. 4. Картина полос для балки с сосредоточенным изгибом.

По данным оптического эксперимента распределение касательных напряжений в окрестности прямой OE резко отличается от параболического и для различных сеченийдано на рис. 5. В сечениях, близких к точкам приложения нагрузок,оказывается в 4 раза больше значений, найденных в предположения параболического распределения. Они имеют место не в точках нейтрального слоя, а в непосредственной близости к крайним волокнам.

Рис. 5. Распределение касательных напряжений.

На рисунках 6 – 8 представлены результаты обработки данных картины полос и картины изоклин для двух сечений.

Рис. 6. Распределение величин углов наклона главных площадок и порядков полос, полученных после аппроксимации для сечения y=1,30.

Рис. 7. Распределение величин углов наклона главных площадок и порядков полос, полученных после аппроксимации для сечения y=1,27.

Рис. 8. Распределение касательных напряжений, полученных после аппроксимации для сечений y=1,30 и y=1,27 .

На основании полученных кривых, можно сделать ряд заключений по поводу распределения касательных напряжений в балках:

1) Значения касательных напряжений, найденные методом фотоупругости, сильно отличаются от значений, полученных в предположении элементарного параболического распределения напряжений, даваемого в курсе сопромата. Исключения составляют сечения, удаленные от точек приложения нагрузок и реакций.

2)В сечениях, близких к точкам приложения сосредоточенных нагрузок, максимальные в сечении касательные напряжения оказываются в 4 раза выше значений, найденные в предположении параболического распределения напряжений.

3) Эти наибольшие касательные напряжения действуют не в точках нейтрального слоя, а в непосредственной близости к крайним волокнам.

4) Касательные напряжения на нейтральной поверхности в сечениях, близких к точкам приложения сосредоточенных нагрузок и реакций, значительно ниже значений, найденных в предположении параболического распределения напряжений.