Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика Сизов 2011

.pdf

Скачиваний:

210

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 486 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3.3. Задания на контрольную работу

lim

x 1 2x2 3x 1

lim

3x2 2x 2

2x2 7x 6

lim

x2 8x 9

2x 7 5

x 9

lim

25x2 2x 1 5x

lim

x 13 2 x 1

x 3

4x2

3x 1

x 1

2x3 2x2 2x 2

lim

7x2 12x 9

5x2 6x 9

lim

x2 5x 4

2x 1

x 4

lim

x x 2

x2 2x 3

lim

1 x 3

2 3 x

x 8

4x2

x 3

x 1

lim x3 x2 2x 2

lim

3x 7 5x2 3x 1

4x3 5x 6

3. lim

2x 7

x 1

6x 7

lim

81x2 7x 81 9x

lim

3 x 6 2

x3 8

x 2

6.	lim	2x 5		3x 2
		2x	1
	x
		x tg2			x

7.	lim			3

	x 0 cos 2x sin3 2x
		1
8.	limx e x		1
	x

1 2x m 1 9. lim sin x

x 0

3x 4

4 x 5

lim

3x 1

cos x sin

lim

tg 2x2

x 0

lim

ex2 cos x

6x2

x 0

1 ax m 1 bx

lim

sin 3x

9x 2

2 x 5

lim

9x 1

tg 3x

sin

lim

sin 6x sin 5x

x 0

lim

e x 1 3

x 0

x tg2

lim

1 x3

x 0 ln 1 2x3

lim

x2 4x 3

3x 7 4 x 3

lim

x 2

x 3 x

x2 5x 1 3x 4

lim

sin2 2x tg

3x3 4x2

2x 1

lim

x 0

lim

sin

5 2x 3

x 2

x 2 x 1

1 x 3

lim

x2 sin x

x 0

1 x

x 2

lim

tgx

x 0

x 4

x 16

lim

3x2 4x 1

x 1 2x3 2x2 x 1

lim

4x4 2x3

3x2

2 2

lim

x2 2x 15

2x 19 5

x 3

lim

6x 36x2

7x 49

lim

x 1

3 x2 1

x 1

lim

2x2 2

4x2 11x 7

x 1

lim

2x3 3x2 1

3x2 7 9x 1

lim

x2 2x 8

16 3x 2

x 4

limx

x x

1 x

lim

x 13 2

x 1

x2 9

x 3

3x 4

5x 2

lim

3x 1

sin 2x tg

lim

tg2

x 0

lim

ex 1

x 0 ln 1 5 tg x

lim

xm xn

1 x

x 1

7x 3

4 x 5

lim

7x 5

sin

lim

tg2 3x2

x 0

lim

e x 1 2

cos x 1

x 1 2

x 1

4 1 x 1

9. lim tg2 4 x

x 0

lim

x 2 4x2 7x 2

lim

6x3 9 3x 2

17x4 19x3 1

lim

x2 2x 3

1 5x 4

x 3

lim

x2 4x

x2 8x

lim

3 x2 3x 8 2

x2 x

x 0

lim

x2 2x 8

3x3 6x2 x 2

x 2

lim

3x2 4x 1

x2 1

9x4 3x2 1

lim

x2 5x 6

13 2x 3

x 2

lim

25x2

8x 16

lim

3 27 x 3 27 x

x 23 x4

x 0

lim

x2 6x 8

x3 2x2

x 2

lim

2x2 1 2x2 1

8x4 1

lim

x2 x 20

3x 4 4

x 4

lim

3 x

lim

3 x 1

1 x

x 1

lim

4x 9

9 x 5

4x 1

sin 3x tg

lim

xsin2 2x

x 0

lim

ln 1 sin x

x 0

tg 2x

lim

1 2x 4 1

x 0

lim

6x 2

4 x 3

x 5

sin 2x tg

lim

arcsin3 2x

x 0

lim

earctg x 1

3arctg x

x 0

lim

1 x 1

x 0

lim

8x 3

5x 2

8x 2

3x sin

lim

x2 sin 2x

x 0

lim earcsin x 1 2

x 0

xsin x

lim

x 1

10.	lim	x	2	2x 3
1.
		x2 2x			15
	x 3
2.	lim	2x2 1			2x2 1
				8x4 1
	x
3.	lim	x2 4x 12
			7x 5 3
	x 2
4.	lim			x2 3x 2		x2 3
	x
5.	lim	1 x			1 x
		3 1 x 3 1 x
	x 0

			5x 1	8x 1
6.	lim
6.	lim		5x 3
	x		5x 3
		sin 2x tg			x

						3
7.	lim					3
7.	lim		tg2	x
	x 0			x

			4
8.	lim		1 e2 x 3
8.	lim
	x 0 sin2 x tg 2x
	3		1 x 1
9.	lim
9.	lim		sin 4x
	x 0		sin 4x

4. Непрерывность функций

4.1.Краткие сведения из теории

Вконтрольной работе на эту тему студенту предстоит построить график непрерывной функции путем преобразований графика элементарной упрощенной функции, хорошо известной со школы. В продолжение темы предстоит также исследовать функции на непрерывность и разрыв.

4.1.1. Преобразование графиков

Графики функций можно приблизительно построить, используя график элементарной упрощенной функции, при этом нужно применять правила преобразования графиков, приведенные ниже.

График функции Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей

редактирования. строится, если график функции y f(x)

переместить по Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей

редактирования. вправо на a, если a 0 и влево на a, если a 0

y (x 5)2 y x2 y (x 5)2

- 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

График функции y f(x) b строится, перемещением

графика функции y f(x) по Oy вверх на b при b 0 и вниз на b , если b 0.

		y
		y 2 x
		y 2 x 2
		1
	0	x
	0	-1
		-1
	График функции y kf x строится, если график функции

y f(x) сжать по Oy при k 1 и растянуть при k 1.

		y								y
			y x3							y
			y x3			1	x3
					y	1			2
					y	27					y 2 cos x
						27

							x		1
									1
	0	1	2	3										x
	0	1	2	3
									0			y cos x
									0
	График функции				y f ( px) строится, если график функции
y f (x) сжать по					Ox (по горизонтали)			при p 1 и растянуть
при p 1
	y								y			y 2x	y 2 x 3
	y sin x			y sin 2x					y				y 2 x 3
								2
0							x	1					x
								0

									1		2	3
									1		2	3
	График	функции				y f (x) есть		зеркальное			отражение
относительно оси Ox графика функции y f (x) .
							y

	y (0.5)x
0	x
0	y (0.5)x

График функции y f ( x) есть зеркальное отражение относительно оси Oy графика функции y f (x) .

	y	y
		y
	y ln( x)	y tg( x)
	y ln( x)	y ln x
		y ln x

	0	x		0	x
	0			0
				y tg x
	График функции y	f (x)	есть повторение графика функции
	График функции y	f (x)	есть повторение графика функции
y f (x) в той части, для которой				f (x) 0 . Остальная часть

графика,

для

которой

f (x) 0 ,

зеркально

отражается

относительно оси Ox

ln x

sin x

y ln x

y sin x

График

функции y f

есть

повторение

графика

функции

y f (x) в той части,

для которой

x 0.

Остальная

часть графика

функции

y f (x) ,

для

которой

x 0 ,

устраняется. Вместо нее строится зеркальное отражение относительно оси Oy той части графика функции y f (x) , для

которой x 0

	y	y
	y 2 x
y 2x		y sin x
y 2x		x
0	x	x
0		0

Замечание. При одновременном преобразовании графика по горизонтали (смещение и сжатие (растяжение)) можно допустить ошибку в смещении графика.

Например, график функции y sin 3x 4 ошибочным образом можно построить так: сначала сжать график функции y sin x в 3 раза по горизонтали и получить график функции y sin 3x , а затем сдвинуть его по горизонтали на 4 единицы влево.

Правильное построение будет такое: сжать график функции y sin x по горизонтали в 3 раза, а затем сместить его по горизонтали

влево на	4	единицы, а не на 4 единицы, т.к.:
	3
			4
y sin 3x 4 sin 3 x			3
			3

Смещение графика и, вообще, любое преобразование графика нужно производить при «очищенном» аргументе x .

В контрольной работе предстоит построить график функции y kf px a b . Для этого необходимо построить график функции

y f x		Последовательными					преобразованиями		согласно
изложенным правилам довести до искомого:
	График функции y f x						сжать по Ox в p раз и получить
	график функции y f xp ;
	График функции y f xp						сместить по Ox на величину			a	в
	График функции y f xp						сместить по Ox на величину				в
										p
	нужную		сторону			и	получить	график	функции
				a		px a ;
	y f p x			a	f
	y f p x				f
				p

График функции y f px a растянуть по Oy в k раз и получить график функции y kf px a ;

	График функции y kf	px a сместить по Oy на величину b
	в нужную сторону и	получить искомый график функции
	y kf px a b;

Типовой пример построения графика функции путем преобразования графика упрощенной функции в данном пособии не рассматривается т.к. автор считает, что после приведенных объяснений студент сможет самостоятельно выполнить данное задание.

4.1.2. Исследование функций на непрерывность в точке

Функция y f x называется непрерывной в точке x0 , если она определена в окрестностях точки x0 и в самой точке и если в этой

точке бесконечно малому		приращению	аргумента	x x x0
соответствует	бесконечно	малое	приращение	функции
y y y0 f x x f x0		, или lim y 0 .
		x 0

Необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке.

1.Функции должна быть определена в окрестностях точки и в самой точке.

2.Функция должна иметь в точке равные односторонние

пределы	lim f x		lim f x .

	x x0 0		x x0 0
3. Эти односторонние пределы должны быть равны значению
функции в точке	f x	lim f x f x0 .
lim
x x0 0		x x0	0

Функция f x называется разрывной в точке, если она

определена в окрестностях точки, но в самой точке не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности.

Разрыв функции f x в точке x0 называется конечным или I рода, если существуют односторонние пределы.

Если эти пределы различны, то разность её односторонних
пределов	lim		f x lim f x	называется скачком функции.
x x0		0	x x0 0
Если	в	точке разрыва x0		хотя бы один из односторонних

пределов не существует, то это разрыв II рода.

4.2. Решение типовых примеров

Типовые примеры включают исследования функций на непрерывность в точке в соответствии с необходимыми и достаточными условиями. В случае нахождения точек разрыва, их нужно классифицировать.

Пример 1. Задана функция y f(x). Найти точки разрыва функции и определить род разрыва. Сделать чертеж.

	x 2 2 3,	x 0;
f x x 1,		0 x 3;
		x 3.
	ln x 2 ,	x 3.

Решение. Функция	f x кусочно-составная. Внутри заданных
интервалов каждая из	составляющих	функций непрерывна.

Возможный разрыв функции f x может быть только в граничных точках интервалов, т.е. в точках x 0, x 3 . Поэтому исследования на

непрерывность в точке на основе трех достаточных условий непрерывности нужно провести только в этих точках.

x 0 1. Значение функции в точке: f 0 x 2 2 3 0 1. 2. Односторонние пределы:

lim f x

lim

3 (0

0 2)2

3 4 3

x 0 0

lim f

lim

x 1 0 0

1 1 .

0 0

x 0

1 .

lim

lim f

x 0

0 0

В точке

x 0

все

три

условия непрерывности

соблюдены,

значит, в этой точке функция непрерывна.

x 3 1.

f (3) ln (x 2)

x 3 ln(3 2) ln1 0 .

lim f x lim x 1 3 0 1 2 .

x 3 0

lim f (x)

lim ln(x 2) ln(3 0 2) ln1 0 .

x 3 0

f x f

3 .

lim f x lim

x 3 0

3 0 , но имеет разные

Функция в точке

x 3

определена

односторонние пределы. Значит, в точке

x 3 имеет место разрыв I

рода или скачок функции.

Для

построения

чертежа

функции

воспользуемся

правилами преобразования графиков простейших функций.

Для построения графика функции на интервале

необходимо график функции

x x2

сместить влево на 2 единицы,

получим

график

функции

f x x 2

2 ,

затем

этот

график

зеркально отобразить относительно оси Ox ,

получим график функции

y x 2 2

и,

наконец,

последний

график

сместить

вверх на 3

единицы, получим график функции

f x x 2 2 3 .

f x x

На интервале 0;3 необходимо график функции

сместить вниз на 1 единицу, получим график функции f x x 1.

На интервале 3; необходимо график функции

f x ln x

сместить

вправо

на

единицы,

получим

график

функции

f x ln x 2 .

Результирующий график функции имеет вид:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 486 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025155.14 Кб3Лекция №6 Организация налогового контроля.doc
#
23.12.2018167.94 Кб103лекция_Э1.doc
#
23.12.2018207.87 Кб87Леонидова Эконом теория Метод указ по выполн ку....doc
#
28.03.2015172.15 Кб87люда1.docx
#
28.03.2015326.87 Кб111маркетинг Вася.docx
#
15.02.20154.26 Mб210Математика Сизов 2011.pdf
#
28.03.2015443.96 Кб167МДК .01.01. ТПП Квал. экзамен.docx
#
01.05.2025174.59 Кб2МДК 01.02 (билеты).doc
#
12.03.201646.86 Кб36менеджмент КР.docx
#
15.02.2015556.03 Кб38менеджмент.doc
#
12.03.20161.24 Mб150Метод КР по МДК.pdf