Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика Сизов 2011

.pdf

Скачиваний:

210

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 483 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1.3. Задания на контрольную работу

Задание 1.

Дано комплексное число z. Требуется:

1)записать число z в алгебраической и тригонометрической

формах;

2)найти все корни уравнения 3 z 0 .

	2		2		2.	z		4
1.	z 1 i
							1 i 3
3.	z		2	2	4.	z		4
			1 i					1 i 3
5.	z		2	2	6.	z		4
			1 i					3 i
7.	z		4			2		2
					8.	z 1 i
		1 i 3
9.	z		1		10.	z		1
			3 i					3 i

Задание 2.

Дана система линейных уравнений. Решить тремя способами:

1)методом Гаусса;

2)методом Крамера;

3)с помощью обратной матрицы.

	3 x		2 y			z		5
1.	2 x 3 y					z 1
	2x		y	3		z	11
	4 x -		3 y	2 z			9
3.	2 x 5 y - 3 z 4
	5 x 6 y -				2 z		18
5.	2 x -			y	-		z	4
	3 x	4 y -				2 z		11

	3 x	- 2 y				4 z		11
7.	x +		y -			z = 1
	8 x + 3 y-					6 z = 2

	4 x + y -					3 z = 3
9.	7 x -		5 y					31
	4 x				11 z		-43

2 x 3 y 4 z -20

	x -	2 y	3 z			6
2.	2 x 3 y - 4 z 20
	3 x	-	2 y -		5 z 6
	x		y		2 z		-1
4.	2 x - y 2 z -4
	4 x		y		4 z		-2
	3 x	4 y			2 z			8
6.	2 x - y - 3 z -4
	x 5 y					z		0
8.	3 x - 2 y					2 z			3
	2 x		y	-		z		-5

	5 x	-	y 3 z					4
10.	x		2 y				4 z		31
	5 x		y			2 z			29

	3 x -		y				z	10

Задание 3. Даны два линейных преобразования x1 (a b 3)x1 (b a)x2 cx3 ,

x2 (2c 2)x1 (2a 3b c)x2 (a c)x3 , x3 ax1 (b a)x2 (2a c)x3.

x1 (b 3)x1 (2b a)x2 (2a c)x3 ,

x2 (2c 2)x1 (3b c)x2 (a c)x3 , x3 (3a c)x1 (2 b)x2 (a b c)x3.

Средствами матричного исчисления найти преобразования, выражающие x1, x2 , x3 через x1, x2 , x3. В качестве а взять последнюю

цифру своего шифра, b=7, c=-7.

Задание 4.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:


	0 1 0							0 7				4
1.	3	4 0					2.		0		1		0
					.										.
	2	1 2							1	13			4

	8	6	3						1		0	4
3.	0	0 1					4.		2		7	5
				.									.
	0								4		0	1
		2 1
	3 11 7							1 2					7
5.	0	5 3					6.		0		7		0
						.									.
	0 7 1								2 5				8

	7	8	1						1		0	2
7.	0	3 6					8.		1		2	1
				.									.
	0								0		0	3
		2 1
	5	2	0							3	0	1
9.	0	1	0				10.			2	7	3
				.										.
	2	3	3							8	0	1

2.Векторная алгебра и аналитическая геометрия

2.1.Краткие сведения из теории

2.1.1. Элементы векторной алгебры

Вектором называется направленный отрезок в пространстве,

имеющий определенную длину (рисунок 2.1).

a В

АОбозначение векторов: à или ÀÂ.

Рисунок 2.1.

Длина вектора – модуль, имеющий обозначение:

или

Нуль-вектор -

– вектор, не имеющий определенного

направления, и модуль

0 .

Вектора, расположенные на одной или параллельных прямых,

называются коллинеарными.

Вектор (- à ) называют противоположным

вектору

à , он

коллинеарен вектору

и направлен в противоположную сторону.

Сумма векторов есть вектор, начало которого совпадает с началом первого слагаемого, а конец – с концом последнего слагаемого, при условии, что начало каждого последующего вектораслагаемого приложено к концу предыдущего.

Произведением вектора

на число

называется вектор

λà , модуль которого

λà

направление

совпадает с

направлением

a , если

> 0 , и противоположно,

если

< 0 .

Вектора, лежащие на одной или параллельных плоскостях

называются компланарными.

à1 ,....,

àn

Система

векторов

называется

линейно

зависимой, если существуют числа

λ1, λ2 , … , λn

такие, что хотя бы

одно из них отлично от нуля

1à1

2à2

... nàn 0 . В

противном случае система называется

линейно независимой.

Максимальное число линейно независимых векторов в

пространстве называется

базисом.

Вектора

попарно

перпендикулярные

и имеющие

, j , k

единичную длину, образуют прямоугольный декартов базис в трехмерном пространстве пространстве R3. Эти вектора называют единичными ортами. Они имеют строгое направление: орт

i направлен по оси Ox, орт

по оси Oy,

орт

по оси Oz.

Всякий

вектор

может быть

единственным

образом

представлен в трехмерном пространстве как:

à àx

ày

àz

ax ,ay ,az ,

где à x ,

à y , à z

–

координаты вектора

базисе

, j , k )

представляют

собой

проекции вектора

на

оси

Ox,

Oy,

(рисунок 2.2.)

Рисунок 2.2.

Если A Ax ,Ay ,Az , B Bx ,By ,Bz начало и конец вектора

a ,

то координаты этого вектора ax Bx Ax , ay By Ay , az Bz Az .

Чтобы определить координаты вектора, нужно от координат конца вычесть координаты начала.

Выразим модуль вектора через координаты его начала и конца.

AB Bx Ax , By Ay , Bz Az ,

		Bx	Ax 2 By Ay 2 Bz Az 2 ax2 ay2 az2 .
	AB	Bx	Ax 2 By Ay 2 Bz Az 2 ax2 ay2 az2 .
Представление			векторов	своими	координатами

a ax ,ay ,az , b bx ,by ,bz позволяет производить аналитическим

образом следующие действия над ними.

Сумма векторов:

a b ax ,ay ,az , bx ,by ,bz ax bx ay by az bz , или

a b axi ay j azk bxi by j bzk ax bx i ay by j az bz k .

Произведение числа на вектор a :

a ax , ay , az ax , ay , az , или

λa λ ax i ay j az k λax i λay a y λaz k.

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением

векторов а

называется число a

cos a

Если

вектора

заданы

координатами

a (àx , ày , àz ) ,

(bx , by ,bz ) ,

то

скалярное

произведение

a b àx bx ày by àz bz .

Из формулы нахождения скалярного произведения можно найти косинус угла между двумя векторами

ax bx ay by az bz

cos a

ax ay az

bx by bz

Векторное произведение векторов. Векторным произведением

двух векторов а

называется вектор

ñ a

определяемый

тремя условиями:

sin a

1. модуль

вектора

– численно равен

площади параллелограмма, построенного

на векторах

, как на сторонах;

2. вектор

à и

;

, c

3. вектора

образуют

правую

тройку,

т.

е.

если

а и

, то поворот

смотреть с конца вектора

на вектора

от вектора

по кратчайшему

расстоянию виден

совершающимся против часовой стрелки (правило винта,

рисунок 2.3).

Рисунок 2.3.

Если вектора

заданы координатами a ( àx , ày , àz ) ,

(bx , by , bz ) , то векторное произведение находится так:

Смешанное произведение. Смешанным произведением трех

векторов				a ( àx , ày , àz ),		( bx , by ,bz ),	c ( cx , cy , cz )
					b
называется число,				равное векторно-скалярному			произведению
векторов	( a		) ñ .
		b

Геометрически смешанное произведение с точностью до знака численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах

a, b , c , как на ребрах.

Смешанное произведение через координаты векторов

вычисляется по формуле:

Если три вектора

, c компланарны, то их смешанное

произведение (a

) с =0

и наоборот.

2.1.2. Прямая на плоскости Прямоугольные координаты на плоскости. Точка М на

плоскости в прямоугольной декартовой системе координат								x 0 y
задается координатами x	и y и обозначается			М(x, y).
Расстояние d между двумя точками на плоскости							М1(x1, y1)
и М2(x2, y2) определяется по формуле		d (x	2	x )2	(y	2	y )2 .
Координаты точки	М(x, y),			1				1
		которая делит			отрезок			между

точками М1(x1, y1) и М2(x2, y2) в отношении λ, находятся по формулам

		x	x1 λx2		, y		y1 λy2	.
			1 λ
							1 λ
Координаты середины отрезка М1М2 находятся из условия
λ=1 и равны	x	x1 x2	, y	y1	y2	.
					2
	2

Основные виды уравнений прямой на плоскости.

Ax By C 0 –

общее уравнение прямой.

A(x x1) B( y y1) 0

– уравнение прямой,

проходящей

через

точку

М1(x1, y1)

перпендикулярно

нормальному вектору

(A, B) .

x x1

y y1

–

каноническое

уравнение

прямой –

уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1, y1)

параллельно

направляющему вектору s (m, n) .

4)	x x1			y y1			– уравнение прямой, проходящей через две
	x	2	x	y	2	y
			1			1

точки М1(x1, y1) и М2(x2, y2).

5) y = k x + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом,

где k tg (α – угол наклона прямой к оси				0x),	b – ордината точки
пересечения прямой с осью 0y .
6)	r	r0 s t –	векторное уравнение	прямой, где		r (x, y)			–
радиус-вектор произвольной точки М(x,y)				на	прямой,			0 x0 ,	y0
							r
радиус-вектор точки			М0(x0, y0), лежащей	на	прямой,	s (m, n)			–

направляющий вектор прямой. Из векторного уравнения можно получить параметрическое уравнение прямой:

x x0	mt	, t ( , ).
	nt	, t ( , ).
y y0	nt

7)ax by 1 – уравнение прямой в отрезках, где а –

абсцисса точки пересечения прямой с осью 0х , b – ордината точки пересечения прямой с осью 0y.

Угол между двумя прямыми. Угол между прямыми y = k1x + b1

и y = k2 x + b2 определяется по формуле:

tgα	k2 k1		.

	1 k k	2
	1

Условие параллельности прямых: k1=k2 . Условие перпендикулярности прямых: 1+ k1k2 =0 .

Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки М1(x1, y1)

до прямой Ax By C 0 находится по формуле:

d Ax1 By1 C .

A2 B2

2.1.3. Прямая и плоскость в пространстве R3

Основные виды уравнений плоскости в пространстве R3

1)	Ax By Cz D 0 – общее уравнение плоскости;
2)	A(x x1 ) B(y y1 ) C(z z1 ) 0 – уравнение плоскости,

проходящей через точку М1(x1, y1, z1) перпендикулярно нормальному вектору N (A, B,С) ;

3)ax by cz 1 – уравнение плоскости в отрезках, где а, b, с –

величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях 0х, 0y, 0z соответственно;

		x x1	y y1	z z1
		x x1	y y1	z z1
4)		x2 x1	y2 y1	z2 z1		0 –	уравнение	плоскости,
		x3 x1	y3 y1	z3 z1
проходящей через три точки				М1( x1, y1, z1 )			, М2( x2, y2, z2 ) , М3( x3,
y3, z3 ).
Основные виды уравнений прямой в пространстве R									3
Основные виды уравнений прямой в пространстве R
1.	A1x B1 y C1z D1			0	–общее		уравнение	прямой, как
	A2 x B2 y C2 z D2 0

пересечение двух плоскостей, где направляющий вектор прямой находится из векторного произведения нормальных векторов

плоскостей

x x1

y y1

z z1

–

каноническое уравнение

прямой

М1(x1,

y1, z1)

или уравнение

прямой,

проходящей через точку

параллельно вектору

s (m, n, p) .

x x1

y y1

z z1

– уравнение прямой, проходящей

через две точки

М1( x1, y1, z1 ) и

М2( x2, y2, z2 ) .

r(t)

–

векторное

уравнение

прямой,

где

x0 , y0 , z0

–радиус-вектор

точки,

лежащей

на

прямой,

s(m, n, p) – направляющий вектор прямой.

5.В параметрической форме уравнение прямой:

xx0 mt

y y0 nt .

z z0 pt

Расстояние от точки M0 (x0 , y0 ,z0 ) до плоскости

Ax By Cz D 0 определяется по формуле:

d	Ax0	By0	Cz0	D	.
	Ax0	By0	Cz0	D

		A2 B2 C 2
		A2 B2 C 2

Угол между двумя прямыми,

заданными в канонической форме

x x1

y y1

z z1

x x2

y y2

z z2

определяется

как угол между их направляющими векторами:

cos

m1 m2 n1 n2 p1 p2

m 2 n 2

2 p

Угол между

прямой

x x1

y y1

z z1

и плоскостью

Ax By Cz D 0

определяется так:

sin

m A n B p C

m2 n2 p2

A2 B2 C 2

2.1.4. Кривые второго порядка

Каноническое

уравнение

эллипса

где a и b

соответственно большая и малая полуоси эллипса, F1(-c,o) и F2(c,o) –

фокусы, b2 a2 c2 (рис. 2.4). При a=b получаем уравнение окружности.

	b	a
		a
F1(-c,0)		F2(c,0)	x

Рисунок 2.4.
Каноническое уравнение гиперболы	x2	y2	1, где a и b
Каноническое уравнение гиперболы	a2	b2	1, где a и b
	a2	b2

соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы, F1(-c,o)

и F2(c,o) – фокусы, b2 c2 a2 (рисунок 2.5).

F1(-c,0)

F2(c,0)

Рисунок 2.5.

Канонические уравнения парабол: y2 2 px , где p параметр

(рисунок 2.6).

12 2 p

Рисунок 2.6.

2.2. Решение типовых примеров и задач

Задача 1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(5,1,-4),

В(1,2,-1), С(3,3,-4), D(2,2,2). Требуется:


1)	найти векторы AB ,	АС	, АD и их модули;
2)	найти угол между векторами				,		;
2)	найти угол между векторами			AB	,	ÀÑ	;

3)найти площадь грани АВС;

4)найти объем пирамиды.

Решение.
1)	Найдем векторы и их модули.

			1, 1 4 4,1,3 , AC 3 - 5,3 - 1,-4		4 2,2,0 ,
AB 1 5,2			1, 1 4 4,1,3 , AC 3 - 5,3 - 1,-4		4 2,2,0 ,
				1,2 4 3,1,6 .

		5,2
AD 2		5,2

<<< < Предыдущая 1 23 / 483 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025155.14 Кб2Лекция №6 Организация налогового контроля.doc
#
23.12.2018167.94 Кб103лекция_Э1.doc
#
23.12.2018207.87 Кб87Леонидова Эконом теория Метод указ по выполн ку....doc
#
28.03.2015172.15 Кб87люда1.docx
#
28.03.2015326.87 Кб111маркетинг Вася.docx
#
15.02.20154.26 Mб210Математика Сизов 2011.pdf
#
28.03.2015443.96 Кб166МДК .01.01. ТПП Квал. экзамен.docx
#
01.05.2025174.59 Кб1МДК 01.02 (билеты).doc
#
12.03.201646.86 Кб36менеджмент КР.docx
#
15.02.2015556.03 Кб38менеджмент.doc
#
12.03.20161.24 Mб150Метод КР по МДК.pdf