Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика Сизов 2011

.pdf

Скачиваний:

210

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4828 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

4.6. ut 25uxx ,								0 x 8, 0 t ,
u(x,0)		2		/ 4,				0 x 4,	u(0,t) u(8,t) 0.
	x
	8 x,							4 x 8,
4.7. ut 9uxx ,								0 x 2, 0 t ,
u(x,0)		x		2	,			0 x 1,	u(0,t) u(2,t) 0.

	2	x,						1 x 2,
4.8. ut 16uxx ,								0 x 3, 0 t ,
						2	,	0 x 1/ 2,		u(0,t) u(1,t) 0.
u(x,0) 2x
	1 x,							1/ 2 x 3,
4.9. ut 4uxx ,							0 x 4, 0 t ,
u(x,0)		2		/ 2,				0 x 2,	u(0,t) u(4,t) 0.
	x
	4 x,							2 x 4,
4.10. ut	9uxx ,							0 x 10, 0 t ,
u(x,0)			2		/ 5,			0 x 5,		u(0,t) u(10,t) 0.
	x
	10 x,							5 x 10,
Задание 5. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа u=0
в круге 0 r<1,	0 <2 (где r, – полярные координаты), на границе
которого искомая функция u(r, ) имеет следующие значения:
5.1. u(1, ) 2sin 8 .										5.6. u(1, ) 7 cos3 .
5.2. u(1, ) 3cos 7 .										5.7. u(1, ) 8sin 2 .
5.3. u(1, ) 4sin 6 .										5.8. u(1, ) 9cos 2 .
5.4. u(1, ) 5cos5 .										5.9. u(1, ) 10sin 3 .
5.5. u(1, ) 6sin 4 .										5.10. u(1, ) 11cos 4 .

272

18. Ряды

18.1.Числовые ряды

18.1.1. Краткие сведения из теории

Числовым рядом называется выражение

U1 U2 ... Un ... Un , где U1,U2 ,...,Un – числовая

n 1

последовательность,

Un – общий член ряда.


Числовой ряд Un называется сходящимся, если существует
	n 1
lim Sn S ,	где Sn – частичная сумма, S – сумма ряда.
n
Необходимый признак сходимости знакоположительных рядов:
если ряд		n
если ряд	Un сходится, то предел его общего члена при	n
	n 1

равен нулю: limUn 0.

Обратное утверждение неверно. Если этот предел не равен 0, то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

1. Признак сравнения.

Если даны два ряда


U	n	(18.1);	V	n	(18.2),
n 1	n		n 1	n	Un Vn , то из
общие члены, которых удовлетворяют соотношению					Un Vn , то из

сходимости ряда (18.2) следует сходимость ряда (18.1) (если сходится ряд с большими членами, то ряд с меньшими членами сходится и подавно) и из расходимости ряда (18.1) следует расходимость ряда (18.2) (если расходится ряд с меньшими членами, то ряд с большими членами расходится и подавно).

На практике используется предельный признак сравнения.

Если существует lim Un конечный, отличный от нуля, то оба ряда

n Vn

ведут себя одинаково: либо сходятся, либо расходятся одновременно. В качестве известного, образцового ряда берут ряд Дирихле

		1
Vn				,
Vn			p	,
n 1	n 1n

272

который при p 1 – расходится, а при p 1 – сходится. Общий

член ряда Дирихле является алгебраическим выражением, поэтому с помощью предельного признака сравнения предпочтительнее исследовать ряды, общий член которых является алгебраическим выражением.

2. Признак Даламбера.

			lim	Un 1 q
Если для ряда	U	существует	lim	Un 1 q	, то при	q	1 ряд
Если для ряда	n 1 n	существует	n	Un	, то при	q	1 ряд
сходится, при	q 1 –	расходится, при		q 1 –	неопределенность.
3. Радикальный признак.
				lim n Un
Если для ряда	Un	существует		lim n Un	q , то	при	q 1
	n 1		n
	n 1

ряд сходится, при q 1 – расходится, при q 1 – неопределенность.

4. Интегральный признак сходимости.

Если существует функция

f(x),

для которой

f(n)=Un ,

где Un –

общий член ряда Un , то данный ряд и интеграл

f (x)dx сходятся

n 1

и расходятся одновременно.

Признак

сходимости

знакочередующегося

ряда

(признак

Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда ( 1)n 1Un удовлетворяют

условиям

n 1

lim

, или

то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена U1, то есть 0 S U1 .

Если в знакочередующемся ряде ограничить сумму n членами, то ошибка, совершаемая при замене суммы ряда S на частичную сумму Sn , не превосходит абсолютной величины первого из

отброшенных членов.

Сходимость знакочередующегося ряда по признаку Лейбница называют условной, а ряд условносходящимся..

Если сходится ряд, составленный из абсолютных значений членов знакочередующегося ряда (знакоположительный ряд), то такой знакочередующийся ряд называют абсолютносходящимся.

273

Всякий абсолютносходящийся ряд является условносходящимся.

18.1.2. Исследование числовых рядов

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

253 327 1139 1546

Решение: Для исследования любого числового ряда по любому из признаков сходимости необходимо иметь аналитическое

выражение (формулу)общего члена ряда Un . В нашем случае видна

закономерность: величина числителя увеличивается на 4 в каждом последующем члене ряда. Подбираем общую формулу для числителя: 4n 1. При n 1; 2; 3; ... эта формула удовлетворяет числители заданного ряда. Величина знаменателя увеличивается на 7 в каждом последующем члене ряда и его общий член 7n 18 .

Общий член числового ряда U n 4n 1 . 7n 18

Исследуем ряд по необходимому признаку:

4n 1

n 4

lim U

lim

7n 18

n 7

Общий член Un не стремится к нулю при

n значит, по

необходимому признаку ряд расходится.

2n 4

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

n 13 2n7 3n2 1

Решение: Проверим выполнение необходимого признака.

																				4 n		7	3			2		4			4			7			2	4
							4 3n7 2n 4																										n		4	3
																									n6			n7
																																					n6	n7
limUn lim															lim															lim							n6	n7
limUn lim							3 2n7 3n2 1								lim											3		1		lim							3	1
n					n		3 2n7 3n2 1									n					n	7	2			3		1			n 3		n	7		2	3	1
																		3																	3
																																					n5	n7
																									n5			n7
																									n5			n7
				7			7			4	3		2			4								7		7	4		4						7
										4				6			7							7		7		3			3
												n				n

lim n4						n	3	lim											lim n					4		3						lim n		12
lim n4						n	3	lim								1			lim n					4		3	3 2					lim n		12
	n							n					3			1					n						3 2			3 2 n
										3	2
										3	2	n5				n7
												n5				n7
		4	3	lim		1			4	3	1			4	3	0		0 .
	3			lim					3	2				3	2	0		0 .
	3		2 n 12 n7						3	2				3	2

274

Необходимый признак выполняется, следует продолжить исследования по достаточным признакам. Применим достаточный предельный признак сравнения. В качестве известного (образцового)

ряда возьмем ряд Дирихле V

n 1

n 1n p

4 3n7 2n 4

U n

2n7 3n2

4 3n7 2n 4 n p

lim

2n7

3n2

n Vn

n p

Согласно предельного признака сравнения этот предел должен быть равен числу, отличному от нуля. Вместе с тем, при n и числитель и знаменатель стремятся к . Имеет место

неопределенность . Что бы этот предел был равен числу отличному

от нуля необходимо, чтобы и числитель и знаменатель стремились к бесконечности (увеличивались) с одинаковой интенсивностью. Это возможно при условии, что наибольшие степени алгебраических

выражений		числителя					и		знаменателя	равны,	т.е.
7	p 7 , откуда		p	7	7		7	.
4	p 7 , откуда		p	3	4	12		.
4	3			3	4	12
	Тогда

4		3n 7				2 n 4					n p						4		3n 7				2 n				4 12 n 7
lim																	lim
lim		3		2 n		7	3n		2	1							lim			3	2 n				7		3n	2	1
n		3				7			2								n			3					7			2

			4 n		7 4 3				2				4			12 n 7					4	3					12 n 28				4 3
lim			4 n		7 4 3			n 6					n 7			12 n 7									lim							0.
								n 6					n 7
												3				1					3	2						n 28			3 2
n					3 n 7 3 2							3				1					3	2			n	12					3 2
					3 n 7 3 2							n 5			n 7
												n 5			n 7
	Предельный признак сравнения выполняется при условии, что в
							1					p		7			1. Ряд Дирихле расходится, значит и
ряде Дирихле
ряде Дирихле														12
							n 1n p							12
исследуемый ряд то же расходится.
																										3 8n2 3
	Пример 3. Исследовать ряд arctg																													.
	Пример 3. Исследовать ряд arctg																							7n5			2n3 4			.
																		n 1						7n5			2n3 4

Решение: Исследуем ряд по необходимому признаку.

lim U n lim arctg		3 8n2 3	arctg lim	3 8n2 3
		7n5 2n3 4		7n5 2n3
n	n		n		4

275

								n	2							3																			3				2									3
					3						8																											n			3	8
															n 2
																																															n 2
arctg		lim																			arctg										lim																n 2
arctg		lim				5						2					4				arctg										lim						5								2						4
		n				5						2					4														n					n	5			7					2						4
		n			n 7																										n

																																												n 2						n5
														n 2				n5
														n 2				n5
																									3
					2					5							3		8						3														3		8										11
					2					5							3		8						2														3												11
arctg		lim		n 3			n				2	lim												n							arctg												lim					n			6
arctg		lim		n 3			n				2	lim										2					4				arctg												lim					n			6
		n										n										2					4														7 n
																	7
																	7				n 2							n5
																					n 2							n5
			2						1													2
			2						1													2
arctg				lim									arctg														0			arctg 0								0.
arctg			7	lim			6 n11						arctg									7					0			arctg 0								0.
			7	n			6 n11															7
	Необходимый признак выполняется. Продолжим исследования
по	достаточному										предельному													признаку												сравнения.												Обратим
внимание, что lim Wn lim																	3		8n2 3												0 .
внимание, что lim Wn lim																															0 .
					n									n 7n5 2n3 4
	Этот предел вычислен при исследовании ряда по необходимому
признаку.
	Напомним								следствие										первого												замечательного																	предела:
lim arctgW 1.
W 0	W
																													arctg						3			8n2 3
	В нашем случае:													lim		arctgWn							lim						arctg							7n5 2n3									4				1.
																arctgWn																				7n5 2n3									4
																		Wn																3 8n				2 3
														n				Wn								n								3 8n				2 3
																																	7n5 2n3 4
	Здесь выполняются все условия достаточного предельного
признака сравнения.											Остается только исследовать поведение ряда с
общим членом Wn														3 8n2 3									.
общим членом Wn												7n5 2n3											.
												7n5 2n3							4
	Второй				раз					используем										достаточный																предельный													признак
																																									1
сравнения			с	применением ряда																	Дирихле V																					,				аналогично
сравнения			с	применением ряда																	Дирихле V																					,				аналогично
примеру 2.																																n 1			n			n 1n p
примеру 2.
					3 8n2 3
W					5						3		4						3 8n2 3 np																	2						5							5			2
W					5						3								3 8n2 3 np																	2						5							5			2
lim	n lim			7n			2n									lim																				3		p							, p
lim	n lim															lim																						p							, p
n V		n					1										n					5					3															2							2			3
n V		n					1										n					5					3															2							2			3
	n																			7n							2n				4
								np

276

	3	2		6 11		3 n2 3 8		3	6 n11				6	15
	3	2		6 11		3 n2 3 8			6 n11				6	15
11	lim	8n	3	n	lim		n2				2	lim		n	2	0.
6	lim				lim							lim				0.
	n	7n5 2n3 4			n	n5 7		2		4	7 n		6	n15	7
	n				n			2		4	7 n		6		7
								2		5
								n		n

Предельный признак сравнения выполняется при условии, что в ряде

1	, p	11	1. Ряд Дирихле сходится, все остальные ряды,
Дирихле		6

n 1n p
в том числе и исходный ведут себя одинаково, т.е. сходятся.
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд					71n 4n5 2n3 3	.
					(2n 1)!
				n 1

Решение: Проверка выполнения необходимого признака потребует громоздких вычислений (применение формулы Стирлинга). Практически при наличии в общем члене факториала можно сразу применить признак Даламбера.

U n		71 n 4n 5 2n 3 3													; U n 1								71 n 1 4(n 1)5 2(n 1)3 3
U n			(2n 1)!												; U n 1																						(2(n 1) 1)!
	71 n 1 4(n 1)5						2(n 1)3 3															.
				(2n			1)!															.
				(2n			1)!
lim Un 1					71n 1 4(n 1)5 2(n 1)3 3
			lim											(2n 1)!
			lim						71n 4n5 2n3 3
n Un			n						71n 4n5 2n3 3
														(2n 1)!
									1			5											1							1										3
		n 1							1										5				1							1
		71		4 n 1										2 n						3																					3 2n 1)!
		71		4 n 1					n					2 n						3				2		3							5		3						3 2n 1)!
									n																	3					n				3
lim																					n										n
lim													5						2						3
	n									n			5						2						3
									71		n			4														2n										1 !
									71		n			4				n2						n5				2n										1 !
																		n2						n5
															1		5							1									1						3			3
						n		5							1									1									1									3
		n				n			4 1						n			2							2		3							5		3						n	5
		n													n												3					n				3						n
lim		71	71 lim																		n											n												lim 2n 1 !
lim			71 lim																				2							3														lim 2n 1 !
	n	71n		n											n	5			4				2							3														n 2n 1 !

																						n2							n5
																						n2							n5

277

				1		5			1		1		3	3
	4	1					2											2 n 1 !
	4	1					2
71															lim
71								2		3					lim		2 n 1 ! 2 n 2 n 1
						4		2		3					n		2 n 1 ! 2 n 2 n 1
						4
71	4		2 0		3 0 lim							1				71	0	1
71					3 0 lim									1			0	1
	4 2 0 3 0 n								2 n 2 n					1

Ряд сходится.

278

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд		3n 2	n2
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд		3n 4	.
	n 1	3n 4

Решение: По необходимому признаку получаем:

lim 1

3n 2

3n 1

limU

lim

3n 4

3n 1

lim 1

lim

lim 1

lim 4n

4 3

n 3

lim 1

1 0. e

Необходимый признак выполняется. Необходимо продолжить исследования по достаточным признакам. Из общего члена ряда легко извлечь корень n-ой степени, поэтому применим радикальный признак Коши.

n U n		3n 2 n2	3n 2 n
	n	3n 4	3n 4	.

lim n Un

lim

3n 2 n

lim

3n 4 6 n

lim

3n 4

3n 4 6

3n 4

lim

3n 4

6 3n 4

lim 1

lim

3n 4

279


										6n										6
							lim			6n
							lim						4
													4											4					6
							n n				3		n									3		4					6									1
							n n				3											3
			e															e								e		3 e 2													1.
			e															e								e		3 e 2									e2				1.
			Ряд сходится.																																		e2
			Ряд сходится.																																												ln n
			Пример 6. Исследовать на сходимость ряд																																												ln n						.
			Пример 6. Исследовать на сходимость ряд																																																		.
			Решение: Необходимый признак:																																												n 2 n3
			Решение: Необходимый признак:																																					1
																																								1											1						1
			limU							lim ln n											lim						ln n n								lim						n				lim						1						1					0.
			limU					n		lim ln n											lim														lim							2			lim									3								0.
			n					n			n							n	3					n												n					3n	2					n			3n				3				3
																		n									n3 n														3n									3n								3
			Применим интегральный признак:
lnx																										dU 1dx;													lnx								dx									lnx						1
																	U lnx;
																	U lnx;
																														x
		dx				x 3 lnxdx																								x
	x3	dx				x 3 lnxdx																										1							2x2									2x3								2x2					4x2
2						2											dV x 3dx;										V								;									2			2																2
2						2																																									2
																																2
																															2x
				lnx					1			b											lnb				1					ln2				1							1												1					1
												b
																																																(lnb)
lim														lim																																lim						b					lim
lim						2				2				lim										2				2																		lim						b					lim				2
	b					2				2							b							2				2																		b											b				2
				2x				4x				2				1							2b				4b					2 4 4 4											2						b2		b				4				b
				2x				4x				2											2b				4b					2 4 4 4											2						b2		b				4				b
	ln2				1					1										1					1		ln2							1				1
	ln2				1					1					b					1					1		ln2							1				1		2ln2 1.
											lim				b						lim								8
											lim										lim
	8				16					2b 2b										4b b2													16					16

Несобственный интеграл сходится, значит и ряд сходится.

Пример 7. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

ряд

										1 n 1			3	3n			2	4n 7
														3n				4n 7
												6 2n5 3n2 9
					n 1							6 2n5 3n2 9
Решение: Сходимость знакочередующегося ряда определяется
по признаку Лейбница.
					3	3n			2	4n 7									3 n2 3 3			4			7
lim	Un	lim			3				2								lim		3 n2 3 3			n			n2
																						n			n2

n		n			6 2n5 3n2 9													n 6 n5 6 2				3				9
					6 2n5 3n2 9													n 6 n5 6 2				n3				n5
																						n3				n5
2			5					3 3 4							7					1	3 3			4			7
2			5					3 3 4							2					1	3 3						2
lim n3		n	6	lim							n				n			lim n		6
lim n3		n	6	lim			6			2 3 9								lim n		6	6 2 3				9
							6			2 3 9								n			6 2 3				9
n				n														n
											n3					n5							3					5

280

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4828 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025155.14 Кб3Лекция №6 Организация налогового контроля.doc
#
23.12.2018167.94 Кб103лекция_Э1.doc
#
23.12.2018207.87 Кб87Леонидова Эконом теория Метод указ по выполн ку....doc
#
28.03.2015172.15 Кб87люда1.docx
#
28.03.2015326.87 Кб111маркетинг Вася.docx
#
15.02.20154.26 Mб210Математика Сизов 2011.pdf
#
28.03.2015443.96 Кб167МДК .01.01. ТПП Квал. экзамен.docx
#
01.05.2025174.59 Кб2МДК 01.02 (билеты).doc
#
12.03.201646.86 Кб36менеджмент КР.docx
#
15.02.2015556.03 Кб38менеджмент.doc
#
12.03.20161.24 Mб150Метод КР по МДК.pdf