Математика Сизов 2011

17. Уравнения математической физики

17.1. Краткие сведения из теории

Математическая физика – это теория математических моделей физических явлений. Особое место в математической физике занимают дифференциальные уравнения, поскольку исследования многих физических и технических задач сводятся к решению таких уравнений. Физические процессы, происходящие во времени и в пространстве, как правило, описываются при помощи функций нескольких переменных, поэтому возникает необходимость рассматривать уравнения в частных производных. Коренное отличие общего решения дифференциального уравнений в частных производных от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения состоит в том, что в него входят не произвольные постоянные, а произвольные функции.

17.1.1. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Будем рассматривать дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка относительно функции двух переменных u=u(x,y):

называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных:

где aij, ai, b – функции, зависящие от x и y.

Запишем линейное дифференциальное уравнение в частных

производных второго порядка в следующем виде:

он примет, уравнение (17.2) можно привести к одному из следующих

канонических видов.

1. Если >0, то уравнение можно привести к виду

262

которое называется уравнением гиперболического типа. Если положить

Если определитель в данной области принимает значение разных знаков, то уравнение (17.2) называется уравнением смешанного типа.

17.1.2. Начальные и краевые условия

При решении задач физики или других областей науки математическими методами необходимо, прежде всего, дать математическую постановку задачи: а) написать уравнение, которому удовлетворяет искомая функция, описывающее исследуемое явление; б) написать дополнительные условия, которым должна удовлетворять искомая функция на границах области определения (дополнительные условия должны обеспечить существование и единственность решения).

Дополнительные условия в большинстве случаев диктуются физическими свойствами системы, описываемой данным уравнением. Уравнения гиперболического и параболического типа чаще всего возникают при изучении нестационарных явлений, т.е. процессов, протекающих во времени; а уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании стационарных явлений. Это обстоятельство в корне отличает дополнительные условия для первых двух уравнений от дополнительных условий для третьего.

Для уравнений, описывающих нестационарные явления, дополнительные условия разделяются на начальные и краевые условия.

263

Начальные условия состоят в задании при t=0 значений искомой функции u(x,t) и ее производной (в гиперболическом случае) или только значений самой функции (в параболическом случае):

Краевые условия состоят в задании значений искомой функции u(x,t) на границах изменения координат (граничные условия 1-го типа):

u(0,t) g1 (t), u(l,t) g2 (t);

или значений ее производной (граничные условия 2-го типа) ux (0,t) h1 (t), ux (l, t) h2 (t);

или задается линейная комбинация двух выше приведенных условий

(граничные условия 3-го типа)

Если процесс протекает в бесконечном интервале изменения координаты x, то краевые условия отпадают и получается задача только с начальными условиями (задача Коши). Если ставится задача для конечного интервала, то должны быть заданы и начальные и краевые условия (смешанная задача).

Уравнения эллиптического типа обычно возникают при исследовании стационарных явлений. Для задач такого типа ставят только краевые условия. Это может быть задача Дирихле, когда заданы значения самой функции на границе рассматриваемой области.

17.1.3. Уравнение колебаний струны (волновое уравнение)

Уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение

гиперболического типа

называют уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением.

Рассмотрим задачу о свободных колебаниях бесконечной струны при начальных условиях: u(0, x) f (x) , ut (0, x) g(x) . Такая задача

называется задачей Коши. Решить эту задачу можно методом Даламбера, суть которого в том, что после замены переменных уравнение приводится к такому виду, когда решение может быть найдено в виде суммы функций:

264

17.1.4. Уравнение теплопроводности

Уравнения в частных производных второго порядка параболического типа часто встречаются в физических задачах, связанных с тепловыми процессами. В одномерном случае без потерь и источников тепла получим простейшее уравнение параболического типа

которое называют уравнением теплопроводности.

Пусть задан тонкий стержень длиной l, боковая поверхность которого теплоизолирована и концы поддерживаются при нулевой температуре. Задача о распространении тепла в таком стержне может быть сформулирована следующим образом: найти решение однородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющее начальному условию u(x,0) f (x) и краевым условиям u(0,t) 0 ,

u(l,t) 0 .

Для решения этой задачи воспользуемся методом разделения переменных (методом Фурье), то есть будем искать решение этого уравнения в виде: u(x,t) X (x) T (t) . Подставив это выражение в

исходное уравнение, учитывая его линейность и однородность, и, используя начальные условия, получим:

17.1.5. Уравнение Лапласа

Уравнения в частных производных второго порядка эллиптического типа часто встречаются в стационарных физических задачах. Простейшее уравнение эллиптического типа:

которое называют уравнением Лапласа. Это уравнение встречается в электростатике, магнитостатике, гидро- и аэродинамике, теории теплопроводности, теории упругости и в других науках.

Метод Фурье разделения переменных, который играет большую роль в задачах колебаний и теплопроводности, применим также к решению уравнения Лапласа и задачи Дирихле для таких простых

265

областей, как круг. Решим задачу методом Фурье задачу Дирихле для круга. Радиус круга обозначим через R, центр поместим в начало координат. Очевидно, что целесообразно решать задачу в полярных координатах. Тогда задача формулируется так:

Найти решение u=u(r, ) уравнения Лапласа

для r<R, принимающего на границе круга, т.е. при r=R, заданные значения f( ):

u r R f ( ) .

Будем искать решение этого уравнения в виде:

u(r, ) R(r) ( ) . Подставив это выражение в исходное уравнение,

учитывая его линейность и однородность, и, используя начальные условия, получим решение задачи Дирихле в виде

Разделяя переменные и интегрируя, получим

266

где C(y) – произвольная функция y. После потенцирования находим

где f(x) – произвольная функция x. Вводя обозначение g( y) C( y)dy ,

получим общее решение исходного уравнения

u(x, y) f (x) x g( y) ,

где f(x) и g(y) – произвольные функции x и y соответственно.

б) Здесь уравнение является уравнением эллиптического типа (17.3) в любой его области, не содержащей осей координат (x=0, y=0), поскольку для него

если x 0, y 0.

в) Здесь уравнение является уравнением параболического типа (17.6) на всей плоскости xOy, поскольку

г) Здесь уравнение на всей плоскости xOy является уравнением смешанного типа, поскольку

267

Решение. Найдем коэффициенты (17.15) разложения ряда

(17.14):

268