Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика Сизов 2011

.pdf

Скачиваний:

210

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4816 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения xy y 3.

Решение. Перепишем ДУ в виде:

x .

Для

уменьшения

В правой части ДУ явно отсутствует

порядка ДУ применяем подстановку

p x

и yxx px x . Тогда:

p x

p 3

Получили первое ДУ первого порядка с разделяющимися

переменными p и x. Разделяя переменные, находим p(x).

dx ,

, ln

p 3

ln C

p 3

p x

3 .

C x

Возвращаемся к переменной y, получаем второе ДУ первого порядка с разделяющимися переменными y, x и решаем его.


	yx		1	3,	dy
	yx		C1x	3,	dx
			C1x		dx
	1				1
dy		dx 3dx , y
dy	C x	dx 3dx , y				C
	1				1

	1				1
		3,					3
	C x
			dy C x					dx ,
	1				1
dxx 3 dx ,			y	1		ln C2			x	3x .

				C
					1

Задание 5. Найти решение дифференциального уравнения

y y 6y 4x2 ,	удовлетворяющего начальным условиям y(0) 1,

y (0) 2.
Решение.	Составим	характеристическое	уравнение,
соответствующее	однородному	дифференциальному	уравнению

y y 6 y 0 . Оно имеет вид:
k 2 k 6 0 .
Корни этого уравнения k1 2,	k2 3 . Общее решение

соответствующего однородного уравнения будет:

y C1e2 x C2e 3x .

Предполагаемое частное решение неоднородного ДУ повторяет полный вид правой части ДУ, т.к. в характеристическом уравнении

нет нулевых корней:

yï Ax2 Bx C .

Дифференцируем это уравнение дважды и подставим полученные производные в исходное уравнение:


yï x 2Ax B ,	yï xx 2A
152

2A 2Ax B 6Ax2 6Bx 6C 4x2 .

Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях x слева и справа, получаем систему уравнений:

	2	:	6A 4
x
x :			2A 6B 0
	0	: 2A B 6C 0
x

Получаем A 2 ,				B 2						,		C		7		. Следовательно, частное
Получаем A 2 ,				B 2						,		C		27		. Следовательно, частное
		3					9							27
решение исходного уравнения имеет вид:
			y				2 x2					2 x		7	.
			y				2 x2					2 x	27		.
							3					9	27				e 3x 2 x2				2 x	7
Общее решение ДУ:				y				y C e2 x C															.
						y
						y
												1				2			3		9	27
																			3		9	27
Теперь, используя начальные условия, найдем неопределенные
коэффициенты:									7												34 ,
y 0 C e2 0		C	e( 3) 0						7		1.							C	C
y 0 C e2 0		C	e( 3) 0								1.							C	C	2
1		2					27											1		2	27
							27														27
	2 0				3 0					2											16
	2 0	3C2e			3 0					2									3C2		16
								9			2.										9 .
y 0 2C1e								9			2.					2C1					9 .
Решение СЛАУ: C 10 ,										C	2	44 .
		1			27						2	27
					27							27

Решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, имеет вид:

y 1027 e2 x 2744 e 3x 23 x2 92 x 277 .

Задание 6.	Найти	решение дифференциального	уравнения
y 4 y 13y x cos3x ,		удовлетворяющего начальным	условиям
	0,36 .
y 0 0,49, y 0	0,36 .

Решение. Составляем характеристическое уравнение и решаем

его.

k 2 4k 13 0 ,	k 4 16 52		4 36 2 j3.
	1,2	2	2

Общее решение однородного ДУ представляет собой:

y e 2 x C1 cos 3x C2 sin 3x .

Предполагаемое частное решение неоднородного ДУ имеет вид:

yï Ax B cos 3x Cx D sin 3x .

Здесь имеет место повторение правой части ДУ, но в полном виде без дополнительных множителей.

Находим неопределенные коэффициенты согласно изложенному в 9.1.4 методу.

153

yï Acos 3x 3sin 3x Ax B C sin 3x 3cos 3x Cx Dcos 3x A 3Cx 3D sin 3x C 3Ax 3B .

yï 3sin3x A 3D 3Cx 3C cos3x 3cos3x C 3B 3Ax 3Asin3xcos3x 6C 9B 9Ax sin3x 6A 9D 9Cx .

cos 3x 6C 9B 9 Ax sin 3x 6 A 9D 9Cx

cos 3x 4 A 12D 12Cx sin 3x 4C 12B 12 Ax

cos 3x 13B 13Ax sin 3x 13D 13Cx x cos 3x.

x cos3x :	9A 12C 13A 1,	4A 12C 1,		A 0,1
	9C 12A 13C 0,	4C 12A 0,
xsin3x :	9C 12A 13C 0,	4C 12A 0,	B 0,01
	6C 9B 4A 12D 13B 0,	4A 4B 6C 12D 0,		C 0,3
cos3x :	6C 9B 4A 12D 13B 0,	4A 4B 6C 12D 0,		C 0,3
sin3x : 6A 9D 4C 12B 13D 0. 6A 12B 4C 4D 0.			D 0,18.

Общее решение неоднородного ДУ равно:

y y y e 2x C1 cos3x C2 sin3x 0,1 x 0,01 cos3x 0,3 x ``0,18 sin3x

Найдем значения С1,С2, соответствующие начальным условиям. y 2e 2x C1 cos3x C2 sin3x e 2x 3C1 sin3x 3C2 cos3x 0,1cos3x0,1x 0,01 3sin3x 0,3sin3x 0,3x 0,18 3cos3x.

y 0 C1 0,01 0,49,				C1	0,5,
	3C2	0,1 0,54	0,36.	C2	0,6.
y 0 2C1

Частное решение ДУ, соответствующее начальным условиям, имеет вид:

y e 2 x 0,5cos3x 0,6sin 3x 0,1x 0,01 cos3x 0,3x 0,18 sin 3x .

Задание 7. Решить систему дифференциальных уравнений

x 5x 4 yy 2x 2 y .

Решение. Решение произведем двумя методами.

а) Метод замены переменных:

Выразим из первого уравнения

y14 (x 5x)

ипродифференцируем его:

y 14 (x 5x ) .

154

Подставим полученные выражения во второе уравнение системы:

14 (x 5x ) 2x 2 14 (x 5x) .

Приводим подобные, помножив на 4: x 3x 18x 0 .

Таким образом, получили линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, решаем его. Составим характеристическое уравнение, соответствующие однородному дифференциальному уравнению: x 3x 18x 0 .

Оно имеет вид:

k 2 3k 18 0 .

Это уравнение имеет корни k1 3, k2 6 , поэтому общее решение соответствующего однородного ДУ представляет собой:

x C1e 3x C2e6 x .

Подставим полученный x в y, выраженный из первого уравнения системы дифференциальных уравнений:

y 1	((C1e 3x C2e6 x )				5(C1e 3x C2e6 x )) ,
4
Делаем преобразования и получаем :
	y	2C e 3x				1 C		e6 x .
		1				4	2
						4
Общее решение системы принимает вид
		x C1e		3x	C2e			6 x
		x C1e			C2e				e6 x .
	y 2C e 3x 1 C								e6 x .
		1				4		2
						4
б) Решаем систему методом Эйлера.
Ищем частные решения системы в виде экспонент:
	x p ekx		,		y p			2	ekx .
		1						2		p2, ни
Здесь пока	неизвестны			ни		коэффициенты p1,				p2, ни

коэффициент k в показателях степени. Дальнейшие исследования позволяют найти их, а, значит, и решение системы ДУ.

Возьмем производные от функций и сами функции и подставим их в исходную систему:

kp1ekx 5 p1ekx 4 p2ekx .kp2ekx 2 p1ekx 2 p2ekx

Есть возможность сократить на ekx :

( 5 k) p1 4 p2 0 .

2 p1 (2 k) p2 0

155

Получили однородную СЛАУ, в которой неизвестными являются

p1, p2 , а коэффициенты при них также пока неизвестны, т.к. неизвестно k.

Тривиальное нулевое решение этой СЛАУ нас, естественно, не устраивает, т.к. решение системы ДУ обращается в ноль. Нам нужно иметь ненулевое решение, которое имеет место при условии, что определитель СЛАУ равен нулю:

5 k	4	0 .
5 k	4	0 .
2	2 k

Это условие позволит определить значение k, при котором p1 и p2 не являются нулями. Одновременно это условие называют

характеристическим уравнением системы ДУ.

5 k 2 k 2 4 0 ;

k 2 3k 18 0 .

Данное квадратное уравнение имеет два корня: k1 3, k2 6 .

Итак, имеются два значения k, при которых однородная СЛАУ имеет ненулевые решения. Последовательно подставим эти значения k

в СЛАУ и решим ее.
k1 3 .	5 3 p1 4 p2 0,					8 p1 4 p2 0,
k1 3 .	2 p		2 3 p	2	0.		2 p p	2	0.
		1		2			1	2

Если второе уравнение левую и правую части умножить на 4, то получится первое уравнение. Это значит, что одно (любое) из них лишнее. Имеет место совместная неопределенная СЛАУ (имеет множество решений). Так и должно быть при отыскании ненулевого решения однородной СЛАУ.

2 p1 p2 0 ;

p2 2 p1 .

Одна неизвестная выражается через другую. Давая произвольные значения одной переменной, получают соответствующие значения другой переменной. Но p1, p2 являются коэффициентами при экспонентах предполагаемых решениях системы ДУ, общее решение которой предусматривает наличие неопределенных, произвольных постоянных С1, и С2. Поэтому естественно положить p1=C1, тогда p2=-2C1. В этом случае первое частное решение системы ДУ сформируется как

x C e 3x ;		y 2C e 3x .
1	1	1	1

Индексы «1» в решении системы ДУ не случайны. Получено первое частное решение системы ДУ, соответствующее первому условию k1=-3 ненулевого решения однородной СЛАУ.

Второе условие k2=6 приведет ко второму частному решению

системы ДУ.	5 6 p1 4 p2				0,	p1		4 p2		0,	p1 4 p2 .
k2 6	2 p		2 6 p	2	0.		2 p	8 p	2	0.	p1 4 p2 .
		1		2			1		2

156

Пусть p1=C2 , тогда p2= 14 Ñ2 .

x2 C2e6 x ;

Общее решение системы ДУ:

x x1 x2 ,

y y1 y2.

y2		1 C2e6x .
		4
	x C1e		3x	C2e	6 x		,
	x C1e			C2e			,
y	2C e 3x 1 C					e6 x.
		1		4	2
				4

Задача 8. Найти кривую, проходящую через точку (2;1), если угловой коэффициент касательной к ней в любой ее точке вдвое больше абсциссы точки касания.

Решение. Угловой коэффициент касательной равен производной функции, задающую искомую кривую. Получаем уравнение

y 2x .

Ищем решение этого дифференциального уравнения. y x2 C .

Найдем неопределенный коэффициент: y(2) 1 . Получаем

22 C 1,

C 3 .

Искомая кривая имеет вид y x2 3 .

9.3. Задания на контрольную работу

Задание 1. Найти уравнения

1.а) xy y 0.

2.а) x dydx 3y 0.

3.а) x3 y 6 y 0.

4.а) xy 2 y.

общее решение дифференциального


б)	x	dy 3		y	0.

	y dx			ln x
б)	cos2 xy tgx.
б)	x ln y y 2 y ln x 0.
б)		8x
			y tgy 0.
	sin 2 y

5.а)

6.а)

7.а)

8.а)

9.а)

10.а)

sin y dydx 3.

(1 x) y y 0.

(1 x2 ) y (1 y2 ).

1 x2 dydx 2 1 y2 0. x3 y 8y3.

(3 y) y 3x 0.

б)

б) б)

б)

б) б)

1 x2 dydx 2 1 y2 0.

(1 x2 )3 y yx 0.

(1 cos x) y 6ysin x. cosx2 y dydx ctgy 0.

tgydy cos2 y 0. cos xdx

x ln xy y ln y 0.

157

Задание 2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

а)

x2 y x2

xy ,

y(1)

б)

2 y

e x2

y(1) 1.

а)

xy y( ln x ln y),

y(0) 1,

2 x2

y(1) 1.

б)

а) (6xy x2 )y y2 2xy 0,

y(0) 2 ,

б)

6 y

e3x2

y(1) 2 .

а)

x2 y x2 y2

xy ,

y(1)

б) 7 y

6 y

6 e x 2

y(1) 3 .

а) (x xy) y y , y( 1) 1,

б) y x y x , y( 1) 1.

а)

)dx 2xydy , y(1) 3 ,

y 3x

y(1) 3 .

б) 3y x

а)

2 y

)dx 2xydy ,

y( 1) 1,

6 y x

y(1) 1.

б) 5y x

а)

2xydx (y

)dy 0,

y(1) 1,

y(1) 1.

б) 7 y x 3y 5x ,

y(1)

б)

y x

, y(

а)

xy y )dx (xy 2x )dy

10.

а)

x2 y 4x2

4xy , y(1)

б)

x2 y 5 y x ,

y(1)

2 .

Задание 3. Найти общее решение дифференциального

уравнения

y 2x y

5 .

y x ln x y

tgxy 2 y .

tgxy

0 .

xy 2 y 0 .

sin x

xy y x 0.

x3 y x2 y 5 .

7 y

(1 x

) y

2xy x .

y tg7x

10.

xy y 2x 5.

Задание 4. Найти частное решение дифференциального

уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

а)

2 y

15y

48e

y(0) 4 ,

y (0)

б)

4 y

2 ,

y(0)

1, y (0) 2 ,

в)

2 y

y 2e

sin x ,

y(0) 1,

2 .

y (0)

а)

4 y 15cos 2x ,

y(0)

7 ,

y (0) 4 ,

б)

6 y

7 y

10x

2x 1,

y(0)

1,5 ,

y (0)

в)

4 y

2 x

y(0)

y (0) 1.

а)

y y 20 y 2 sin x cos x

y(0)

3 ,

y (0) 8,

б)

y 4 y 13y 10x 5 ,

y(0) 2 ,

y (0) 3,

158

в)

6 y

9 y

y(0) 2 , y (0)

а) y

3y 21sin 2x 12cos2x , y(0) 1,

13,

y (0)

б)

2 y

26 y 26x

30x 4 ,

y(0) 0 ,

6 ,

(0)

в)

2 y

y 2e

y(0)

1, y (0) 3 .

а)

4 y

3y 12 cos 3x

6sin 3x ,

y(0) 7 ,

y (0) 8,

б)

4 y

5x 29 , y(0) 6 , y (0) 1

в)

16 y e

y(0) 2 , y

(0) 4 .

а)

15e

2 x

x ,

y(0)

5 , y (0)

б)

2 y

2 y 2sin 2x 4 cos 2x

y(0) 1,

y (0) 1,

в)

6 y

9 y 4e

sin x , y(0) 0 ,

y (0)

а)

2 y

2 y 2(cos x

sin x) , y(0) 0 ,

y (0) 1,

б)

y 6 y 10 y 17 5x ,

y(0) 2 ,

y (0) 0 ,

в)

12 y

36 y

10e

cos 5x , y(0) 0 , y

(0) 5 .

8.а) y y 18 cos 2x , y(0) 5, y (0) 5 ,

б)

4 y

5y 10x 33, y(0) 6 , y

(0) 0 ,

в)

2 y

y 5e

y(0) 1,

y (0) 2 .

а)

2 y

2 y 9x

y(0) 1,

y (0) 10 ,

б)

y 2 cos x ,

y( / 2) 0 ,

y ( / 2) 0 ,

в)

4 y

4 y 2e

2 x

y(0) 1,

y (0) 4

10.

а)

2 y 6x ,

y(0) 3, y

(0)

б)

2 y

5y 2sin x 4 cos x ,

y(0)

2 ,

1, y (0)

в)

2 y

y 10e

, y(0) 2 ,

y (0) 1.

Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений

1.	x 5x 3y,		2.	x 5x 3y,

	y 2x y.			y 2x 2 y.
3.		x y,	4.	x 15x 9 y,

	y 3x y.			y 2x y.
5.	x 3x y,		6.	x 5x 3y,
		y x y.
				y 4x 2 y.
7.		x y,	8.	x 10x 6 y,

	y 2x y.			y 4x 2 y.
9.	x 2x 3y,		10.	x 5x 3y,
		y 2x y.
				y 6x 3y.

159

Задание 6.

1.Определить и построить кривую, проходящую через точку А(-2;4), если отрезок MN любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится точкой касания P пополам.

2.Определить в зависимости от времени координаты точки,

движущейся по прямой, если на нее действует сила в направлении движения, пропорциональная времени, с коэффициентом k1=3г*см/с3.

3.Найти скорость движения точки, если известно, что ее ускорение пропорционально кубу скорости с коэффициентом k=-5 и в начальный момент времени ее скорость равна 1 мс .

4.Определить зависимость угла поворота маховика, задерживаемого тормозом, от времени, если известно, скорость вращения маховика прямо пропорциональна времени с коэффициентом k=-0.6, и в начальный момент времени угол равен нулю.

5.Найти кривую, у которой все нормали проходят через точку(3;-2).

6.Известно, что скорость уменьшения массы вещества, при радиоактивном распаде, пропорциональна его количеству с коэффициентом k=-5, найти закон изменение массы вещества от времени, если известно, что в начальный момент масса вещества составляла 300 г.

7.Пусть, население страны возрастает на 2% в год. Найти закон численности населения от времени, если зависимость численности населения страны прямо пропорционально росту населения.

8.Моторная лодка движется со скоростью 30 км/ч. Какова скорость лодки через три минуты, после выключения мотора, если лодка движется против течения реки, скорость которой 2 км/ч?

9.Скорость распада радия пропорциональна его массе. Половина массы распадается в течении 1600 лет. Какой процент массы радия распадается за 100 лет?

10.В течение, какого времени тело, нагретое до температуры 1000, охладится до 300 при температуре окружающей среды 200, если до 600 оно охладилось за 10 минут? По закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

160

10. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Общая методология

Кратные (двойные, тройные), криволинейные и поверхностные интегралы, как и обыкновенный однократный (определённый) интеграл служат для вычисления различных величин. Всех их объединяет общий метод определения как пределов соответствующих интегральных сумм.

Суть метода:

искомая величина разбивается произвольно на большое число малых элементов. Эти элементы настолько малы, что с точностью до малых высшего порядка их можно вычислить по известным геометрическим или физическим формулам;

определяется приближённое значение каждого элемента и путём суммирования всех элементов находится приближённое значение всей искомой величины в виде интегральной суммы;

находится предел этой интегральной суммы, который и даёт точное значение искомой величины.

Для обыкновенного однократного (определённого) интеграла определение сводилось к нахождению предела интегральной суммы, распространяющейся на прямолинейный отрезок изменения одной переменной. В более сложных задачах вычисление какойлибо величины сводится к определению предела интегральной суммы, распространяющейся или на плоскую область изменения двух переменныхдвойной интеграл, или на пространственную область изменения трёх переменныхтройной интеграл, или вдоль дуги некоторой кривойкриволинейный интеграл, или по некоторой поверхностиповерхностный интеграл.

При дальнейшем изложении мы будем возвращаться к данному методу определения указанных интегралов в интересах выяснения их геометрических или физических смыслов, т.е. выяснения величин, которых они вычисляют.

Из общего метода определения перечисленных интегралов как предела интегральной суммы следуют их общие свойства. Отметим самые основные, необходимые для вычисления этих интегралов:

1.	Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
		(U1 U 2)dp U1dp U 2dp .
		( P)		( P)	( P)
2.	Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
			CUdp C Udp , (c = const).
		( P)		( P)
3.	Область интегрирования можно делить на части:
	Udp	Udp	Udp ... Udp ,		p = p1+p2+...+pn.
	( P)	( p1)	( p2)	( pn)
				161

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4816 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025155.14 Кб3Лекция №6 Организация налогового контроля.doc
#
23.12.2018167.94 Кб103лекция_Э1.doc
#
23.12.2018207.87 Кб87Леонидова Эконом теория Метод указ по выполн ку....doc
#
28.03.2015172.15 Кб87люда1.docx
#
28.03.2015326.87 Кб111маркетинг Вася.docx
#
15.02.20154.26 Mб210Математика Сизов 2011.pdf
#
28.03.2015443.96 Кб167МДК .01.01. ТПП Квал. экзамен.docx
#
01.05.2025174.59 Кб2МДК 01.02 (билеты).doc
#
12.03.201646.86 Кб36менеджмент КР.docx
#
15.02.2015556.03 Кб38менеджмент.doc
#
12.03.20161.24 Mб150Метод КР по МДК.pdf