Математика Сизов 2011

2. Исследуем функцию на четность, нечетность и

(–1,05;0).

Найдем точки пересечения функции с осью Oy: x = 0. Точка x = 0 не входит в область определения.

Таким образом, точка с координатами (–1,05;0) – единственная точка пересечения графика с осями координат.

4. Поведение функции в окрестностях точек x=0 и x=-1 позволяет сделать вывод: функция имеет две вертикальные асимптоты x =-1, x=0.

91

На интервалах x ; 1 0; производная отрицательная,

следовательно, функция на этих интервалах убывает.

Точек экстремума нет, так как в области определения функции производная знак не меняет. Точки х= –1 и х=0 и интервал (–1;0) не входят в область определения.

6. Исследуем функцию на интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Отметим критические точки на числовой оси и определим знак второй производной в каждом полученном интервале.

7. Используя полученные результаты, построим график

у

3

х

–1,05 0

Задача 3. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом V. Каким должны быть его размеры, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

Решение. В задаче, требуется определить какими должны быть радиус и высота цилиндра, чтобы при заданном объеме V его полная поверхность была минимальной.

Полная поверхность цилиндра: S = 2 RH+ 2 R2. (R>0)

92

Следует определить наименьшее значение этой функции. В данной функции неизвестные переменные R и H. Но в свою очередь

V= R2H.

Тогда H VR2 .

Подставляя в формулу полной поверхности цилиндра, получаем

S 2 R VR2 2 R2 или S 2RV 2 R2 .

Функция S – функция одной переменной R. Теперь найдем минимальное значение функции S.

Для этого найдем производную первого порядка по R и приравняем к нулю.

6.3 Задания на контрольную работу

Задание 1. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию y= f(x) и, используя результаты исследования,

93

Задание 2. Решить задачу на экстремум.

1.Определить максимальную площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна l.

2.Требуется вырыть яму конической формы с образующей l=3м. При какой глубине ямы ее объем будет наибольший?

3.Открытый бак имеет форму цилиндра объемом V=5м3. Каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

4.Определить наибольшую площадь равнобедренного треугольника, вписанного в круг радиуса R.

5.Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

6.Чему должны быть равны радиус основания, высота и образующая прямого кругового конуса для того, чтобы при заданном объеме V он имел наименьшую полную поверхность?

7.Определить наименьшую площадь равнобедренного треугольника, описанного вокруг окружности радиуса R.

8.Найти радиус и высоту конуса наименьшего объема, который можно описать около шара радиуса R.

9.Резервуар открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 300л. воды?

10.Чему должны быть равны радиус основания, высота и образующая прямого кругового конуса для того, чтобы при заданной боковой поверхности S он имел наибольший объем?

94

7. Функции нескольких переменных

7.1. Краткие сведения из теории

Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Если каждой точке M D Rn ( Rn-n-мерное пространство) ставится в соответствие по известному закону некоторое число u R , то говорят, что на множестве D задана функция u=f(M), или u=f(x1,…,xn). При этом множество D называется областью определения функции.

Число a называется пределом функции u=f(M) в точке P (или

Функция u=f(M) называется непрерывной в точке P, если предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е.

Частные производные

Пусть функция u=f(x1,x2,…xn) определена в некоторой окрестности точки M, включая саму эту точку. Дадим аргументу xk приращение xk, тогда функция тоже получит приращение, которое

независимой переменной xk называется предел (если он существует и конечен):

Отметим, что частная производная по независимой переменной xk вычисляется при условии, что все другие переменные постоянны. Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

95

Частными производными 2-го порядка функции u=f(x1,x2,…xn) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные 2-го порядка обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются производные порядка выше второго. Отметим, что результат многократного дифференцирования по различным переменным не зависит от очередности дифференцирования, если получающиеся при этом частные производные непрерывны. Если дифференцирование производится по различным переменным, по полученные частные производные

называются смешанными.

Производные сложных функций

Пусть z f (x; y) – функция двух переменных x и y, каждая из

которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t: x x(t), y y(t) . Тогда функция z f (x(t); y(t)) является сложной

функцией независимой переменной t, а переменные x и y – промежуточными переменными. И пусть функции f (x; y), x(t), y(t) –

Для сложной функции, у которой число промежуточных переменных больше двух, производная находится аналогично. Например, если u f (x; y; z) , где x x(t), y y(t), z z(t) , то формула

двух переменных x и y, каждая из которых, в свою очередь, является функцией двух независимых переменных u и v: x x(u;v) , y y(u,v) .

Тогда функция z f (x(u;v), y(u;v)) является сложной функцией двух

независимых переменных u и v, а переменные x и y – промежуточные переменные. И пусть функции f (x; y), x(u;v), y(u;v) –

дифференцируемы. Частные производные этой сложной функции z f (x(u;v); y(u;v)) находятся по формулам:

96

при условии Fy 0 .

Аналогично найдем частные производные неявной функции двух переменных z f (x; y) , заданной с помощью уравнения

F(x; y; z) 0 , где F(x; y; z) – дифференцируемая функция переменных x, y и z.

Полный дифференциал функции нескольких переменных

главная, линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения функции.

Для полного дифференциала 1-го порядка функции u f (x1, x2 ,..., xn ) справедлива следующая формула:

97

высоких порядков. Полный дифференциал d mu d(d m 1u) порядка m символически выражается формулой:

которая раскрывается по биномиальному закону. Например, для функции двух переменных z f (x, y) полный дифференциал 2-го

порядка вычисляется по формуле:

Экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция u=f(M) определена в области D и точка M0 является внутренней точкой этой области. Говорят, что функция f(M)

имеет в точке M0 экстремум (максимум или минимум), если существует такая окрестность точки M0 , в которой для любой точки M из этой окрестности выполняется неравенство

f (M ) f (M0 ) èëè f (M ) f (M0 ) .

Если в точке в точке M0 функция f(M) имеет экстремум, то в этой точке ее частные производные либо равны нулю, либо не существуют.

Это необходимые условия существования экстремума.

Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими. Все экстремальные точки являются критическими,но не каждая критическая точка является экстремальной.

Точки, в которых выполняются условия (7.9), называются

стационарными точками функции u=f(M).

Рассмотрим функцию двух переменных u=f(x,y) в окрестности стационарной точки M0(x0, y0). Обозначим

98

Достаточные условия существования точек экстремума для функции двух переменных:

1)Если >0, то точка M0 – точка экстремума, причем – максимум при A11<0, минимум при A11>0.

2)Если <0, то в точке M0 экстремум отсутствует.

3)Если =0, то требуется дополнительное исследование на наличие экстремума данной функции в точке M0.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Если функция f (M ) дифференцируема в ограниченной

замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке области. Таким образом, для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, необходимо:

1)найти стационарные точки, расположенные в данной области,

ивычислить значения функции в этих точках;

2)найти наибольшее и наименьшее значения на границе этой

области;

3)из всех вычисленных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

99

Градиентом функции z f (M ) в точке M (x; y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным

Градиент функции характеризует направление, а его модуль величину наибыстрейшего роста функции в данной точке (наибольшую скорость изменения функции в точке). Понятия производной по направлению и градиента функции играют важную роль во многих приложениях.

Метод наименьших квадратов

На практике мы часто сталкиваемся с задачей сглаживания экспериментальных зависимостей. Пусть зависимость между двумя

переменными x и y выражается в виде таблицы.

Эти данные могут быть получены в результате опытных измерений или статистических наблюдений. Требуется наилучшим образом сгладить зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x,

100