Задача 8 определение допускаемой угловой скорости рамы при равномерном вращении Условие задачи

Плоская стальная рама заданных размеров, схемы которой приведены в табл.8.1, вращается с постоянной угловой скоростью . Исходные значения взять из табл.8.2.

Требуется: определить допускаемое число оборотов рамы в минуту .

Теоретические основы решения

В этой задаче рассматривается вращение плоской рамы с большой угловой скоростью. Вращение такой рамы ─ это частный случай ускоренного движения, при котором в каждой частице рамы возникают силы инерции значительной величины.

Такие нагрузки, которые сопровождаются значительным ускорением самого деформируемого тела или взаимодействующих с ним тел, относят к динамическим. Динамические воздействия испытывают не только рамы, но и грузы, поднимаемые с ускорением; валы механизмов и машин; фундаменты и станины промышленного оборудования; шатуны, штоки, поршни и другие элементы машин и двигателей; стержни и опоры мостовых ферм и т.д. Деформация и напряжения, возникающие от динамических нагрузок, называют динамическими деформациями и напряжениями.

Динамические напряжения ощутимо изменяют процесс деформирования материала. Так при ударных нагрузках, когда происходит резкое нарастание деформаций, многие материалы, пластичные при статических воздействиях, работают и разрушаются как хрупкие. А при повторно-переменных напряжениях происходит постепенное, чаще незаметное снаружи, развитие трещин; разрушение же наступает внезапно и при напряжениях, существенно меньших предела статистической прочности. Это явление получило название усталости.

Общий метод определения внутренних усилий при динамических нагрузках основан на известном принципе Даламбера. Согласно этому принципу всякое движущееся тело можно рассматривать в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силы инерции. Отсюда следует, что при динамических воздействиях возникают добавочные реальные напряжения, которые эквивалентны статистическим напряжениям, вызванным силами, равными по величине силам инерции. Значит, для определения напряжений в конструкции, точки которых испытывают ускорения, надо вычислить эти ускорения и в дополнение к внешним силам нагрузить рассматриваемую конструкцию соответствующими силами инерции; далее следует вести расчёт так, как будто действует статистическая нагрузка.

Но значение сил инерции возможно определить лишь тогда, когда возможно найти величины ускорения. Во многих случаях динамических воздействий (например, забивка свай, штамповка) найти величины ускорения практически невозможно, и выполняют расчёт по другим методикам. В виду этого различают четыре случая динамических расчётов.

1. Если внешние сил и движение самой конструкции позволяют вычислять ускорение её точек (по правилам кинематики твёрдого тела), то учёт динамического характера нагрузки сводится к добавочной статической нагрузке, равной силам инерции. Как правило, это те случаи, при которых конструкция совершает вращательное или поступательное движение. Такие расчёты называют расчётами с учётом сил инерции. Этот вид расчёта выполнен ниже.

2. Многие конструкции испытывают воздействия за очень короткий период времени (до 10^-3 – 10^-8 с), – это ударные нагрузки. Их испытывают сваи при забивке, детали при ковке и т. д. Здесь проблематично вычислить силы инерции и приходится применять иной приём нахождения динамических напряжений. Обычно используют методику, основанную на законе сохранения энергии, согласно которой ударный характер нагрузки учитывается введением динамического коэффициента. Эти динамические расчёты называют расчётами на ударную нагрузку. Ниже рассмотрен расчёт балки на удар.

3. При внешних воздействиях, при которых за определённое время ускорение меняет направление и величину (или только направление), возникают переменные по величине и направлению деформации и напряжения, – появляются колебания. Они опасны из-за резонанса – резкого нарастания деформаций и напряжений. Здесь необходимо изучение механических колебаний конструкции, поэтому такие расчёты называют расчётами при колебании.

4. При длительных внешних воздействиях, когда возникают повторно-переменные напряжения, изменяющие свойства материала, разрушение происходит при значительно меньшей нагрузки (из-за усталости материала). Здесь оценивают так называемую выносливость детали, т.е. выполняют расчёт на выносливость. Эти расчёты делаются для реальных деталей, так как на прочность влияют размеры, форма, местные особенности детали и др., поэтому в курсе сопротивления материалов рассматривается методика изучения напряжений при повторно-переменных воздействиях, а сами расчёты на выносливость выполняются в специальных курсах.

Рассмотрим особенности расчёта рамы при её вращении с большой угловой скоростью.

Рама – это конструкция, состоящая из стержней. При вращении с большой угловой скоростью возникают силы инерции. Сила инерции от сосредоточенного груза Q по закону Ньютона равна произведению массыэтого груза на центростремительное ускорение, гдеg=9,81 м/с² – ускорение свободного падения, – радиус вращения:

. (8.1)

Направление силы инерции противоположно центростремительному ускорению, поэтому сила перпендикулярна оси вращения и направлена от оси вращения. Это позволяет правильно поставить на схеме рамы сосредоточенную силу инерции (см рис. 8.2).

Рис. 8.1

Показав на схеме рамы сосредоточенную силу инерции от веса груза как статическую силу,получим схему статического нагружения рамы, для которой можно выполнять статический расчёт на прочность и жёсткость; тем самым динамический расчёт сведён к статическому.

Необходимо сделать следующее замечание. При установившемся движении (в частности, при вращении рамы с постоянной скоростью) ускорение имеет постоянную величину. В некоторых же инженерных расчётах необходимо учитывать возникновение переменного по величине ускорения (рис. 8.1). Например, за период пуска Т (или период торможения) в подъёмных механизмах опорных балках, стальных канатах и других конструкциях линейная скорость движущихся деталей за небольшой промежуток времени Т возрастает от нуля до конечного значения υ.

Если бы нарастание скорости происходило по линейному закону, то величина ускорения была бы постоянна и равна (см. рис. 8.1).

Однако это не соответствует реальным условиям, так как приложить полное ускорение а в начальный момент движения и мгновенно устранить в конечный момент невозможно. Это означало бы резкие толчки и возможные аварии. Скорость должна плавно и без толчков нарастать за время пуска Т, а ускорение должно расти плавно от 0 до некоторого а_max и потом также плавно уменьшается до 0. Значит, за время Т имеем переменные как ускорение, так и скорость. При этом точке на графике ускорения величина а_max соответствует перемена кривизны на графике скорости.

Имея в виду малую длительность периодов пуска или торможения (до 10 с), зависимость ускорения а(t) аппроксимируют синусоидой а(t) = а_max·sin (π/Τ·t). Так как а(t) = dυ/dt, то конечная скорость

.

Отсюда наибольшее значение ускорения выразим через конечную скорость υ:

(8.3)

Этому моменту времени соответствует наибольшая сила инерции, и при расчёте деталей, работающих в условиях частого пуска и торможения нужно подставить наибольшее ускорение (8.3).