Задача 6 подбор диаметра вала при изгибе с кручением Условие задачи
Стальной
вал, схемы которого занесены в табл.
6.1, передаёт заданную мощность
при известной угловой скорости
.
Исходные значения мощностиN,
угловой скорости ω, длины l,
диаметра D1
даны
в табл. 6.2.
Требуется:
Используя IV теорию прочности, подобрать диаметр вала, приняв допускаемое напряжение [σ] = 180 МПа.
Значение диаметра вала должно быть принятым из стандартного ряда по ГОСТ 6636-60:
10; 10,5; 11; 11,5; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 33; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 52; 55; 60; 63; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 105; 110; 120; 125; 130 мм и далее через 10 мм.
Теоретические основы решения
Совместное
действие изгиба с кручением встречается
при расчёте различных валов машин: вала
редуктора, вала коробки скоростей,
шпинделя металлорежущих станков и др.
При расчёте в первую очередь необходимо
определить расчётные значения
изгибающих
и крутящих
моментов.
Валы, как правило, имеют круглое сечение, для которого все центральные оси являются главными, и косой изгиб невозможен.
Нагрузка
чаще всего действует в разных плоскостях,
проходящих через ось вала. Для удобства
вычислений находят изгибающие моменты,
действующие в вертикальной плоскости
(моменты
)
и в горизонтальной (моменты
).
Если эти моменты сложить, то получим
суммарный изгибающий момент
(рис.
6.1, а),
который
лежит в главной плоскости инерции
сечения и, следовательно, вызывает
обычный плоский изгиб. Величину суммарного
изгибающего момента
определяют как модуль суммы двух векторов
:
.
От
моментов
и
возникают соответственно нормальные
σ и касательные τ напряжения (рис.
6.1, б),
принимающие наибольшие значения у
поверхности вала, равные
и
,
(6.1)
где
осевой и полярный моменты сопротивления
сечения вала.
Если выделить вокруг опасной точки (у поверхности вала) кубической элемент (рис. 6.1, б) и показать на нём действующие напряжения, то по четырём граням этого элемента будут касательные напряжения τ, на двух из этих четырёх действуют ещё нормальные напряжения σ, и две грани свободны от напряжений.
а б
Рис. 6.1
Выделенный элемент испытывает плоское напряжённое состояние, для которого условие прочности составляют по теориям (гипотезам) прочности, учитывающим одновременное действие нормальных и касательных напряжений. Для сталей, как пластичного материала, используют III и IV теории прочности. Чаще применяют IV (энергетическую) теорию прочности. Запишем по ней условие прочности:
.
(6.2)
Подставив в (6.2) напряжения по (6.1), будем иметь условие прочности круглого вала в удобной форме:
.
(6.3)
где
и
−
соответственносуммарный
изгибающий и
крутящий
моменты
в
опасном
сечении вала (эти
моменты называют расчётными
значениями моментов);
опасное сечение вала нужно
установить
по эпюрам изгибающих
и крутящих
моментов;
−
осевой момент сопротивления круглого
сечения,
.
(6.4)
Согласно условию задачи требуется подобрать диаметр d вала, т. е. нужно, используя (6.3), выполнить проектный расчёт.