6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ 1-го семестра

1. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей.

2. Определение и свойства матричных операций. Обратная матрица и ее свойства.

3. Теорема Крамера. Матричный метод решения СЛУ.

4. Линейные отображения.

5. Логические символы. Кванторы и отрицание. Булевы алгебры, логические исчисления.

6. Графы, теория алгоритмов.

7. Языки и грамматики, автоматы.

8. Операции над множествами.

9. Свойства модуля. Промежутки и окрестности.

10. Определение функции. График. Монотонность. Композиция.

11. Обратная функция. ОЭФ. Элементарные функции.

12. Предел последовательности, его единственность. Ограниченность сходящейся последовательности.

13. Предельный переход в неравенстве. Принцип сжатой переменной.

14. Свойства БМВ. Структура сходящейся переменной.

15. Связь БМВ и ББВ.

16. Предел суммы, разности, произведения, частного сходящихся последовательностей.

17. Теорема Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности.

18. Неравенство Бернулли. Число e. Натуральные логарифмы.

19. Предел функции в точке. Формулировка основных свойств предела функции.

20. Предел функции на бесконечности. Бесконечные пределы.

21. Односторонние пределы. Теорема о связи с двусторонним пределом.

22. Критерий эквивалентности БМВ. Переход к эквивалентным БМВ в пределе отношения.

23. Теорема о переносе неравенства для непрерывной функции на окрестность.

24. Арифметические свойства непрерывных функций.

25. Предельный переход под знаком непрерывной функции.

26. Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции.

27. Непрерывность ОЭФ и элементарных функций. Классификация точек разрыва.

28. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

29. Замечательный предел для логарифмической, показательной и степенной функций.

30. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

31. Определение, геометрический и физический смысл производной.

32. Связь непрерывности и дифференцируемости.

33. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

34. Производная сложной функции.

35. Производная константы, степенной, показательной и логарифмической функции.

36. Производная синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

37. Производная обратной функции. Производная обратных тригонометрических функций.

38. Производная параметрически заданной и показательно-степенной функций.

39. Дифференциал и его свойства. Геометрический смысл дифференциала.

40. Точки экстремума. Теорема Ферма.

41. Теорема Ролля, Лагранжа, Коши.

42. Правило Лопиталя.

43. Критерий нестрогой монотонности. Достаточное условие строгой монотонности.

44. Достаточное условие экстремума в терминах первой производной.

45. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.

46. Асимптоты. Критерий существования наклонной асимптоты.

47. Коллинеарность, равенство векторов. Модуль вектора. Линейные операции над векторами и их свойства.

48. Линейная зависимость и независимость векторов. Критерий ЛЗ.

49. Геометрический смысл ЛЗ векторов на плоскости и в пространстве.

50. Определение базиса. Координаты вектора и их свойства. Базис векторов на плоскости и в пространстве.

51. Критерий линейной независимости векторов. Разложение вектора по базису.

52. Определение и свойства проекций вектора.

53. Скалярное произведение и его свойства. Скалярное произведение в ОНБ. Косинус угла между векторами. Условия коллинеарности и ортогональности векторов.

54. Определение и свойства векторного произведения. Векторное произведение в ОНБ.

55. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.

56. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл его коэффициентов.

57. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

58. Уравнение прямой в отрезках.

59. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

60. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл его коэффициентов.

61. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

62. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

63. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве.

64. Цилиндрические поверхности. Поверхности 2-го порядка.

65. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.

66. Элементы топологии.

67. Теорема об общем виде первообразных.

68. Неопределенный интеграл и его свойства. Теорема существования.

69. Таблица неопределенных интегралов.

70. Инвариантность формул интегрирования. Методы непосредственного интегрирования.

71. Интегрирование по частям для неопределенного интеграла.

72. Замена переменной в неопределенном интеграле.

73. Интегрирование рациональных функций.

74. Интегрирование тригонометрических выражений.

75. Интегрирование иррациональных функций.

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ 2-го семестра

1. Интегральная сумма и ее предел. Понятие определенного интеграла. Теорема существования. Геометрический смысл.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Теорема о среднем.

4. Интеграл с переменным верхним пределом.

5. Формула Ньютона-Лейбница.

6. Интегрирование по частям для определенного интеграла.

7. Замена переменной в определенном интеграле.

8. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

9. Вычисление площадей фигур, заданных в полярных координатах.

10. Вычисление объёмов тел, в том числе тел вращения.

11. Длина дуги. Дифференциал длины дуги.

12. Вычисление длины кривой, заданной в декартовых координатах.

13. Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме и в полярных координатах.

14. Работа переменной силы.

15. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

16. Несобственные интегралы по конечному промежутку.

17. Предел функции двух переменных. Приращения функции двух переменных. Определение и критерий непрерывности.

18. Частные производные; геометрический смысл; вычисление.

19. Определение дифференцируемости; теорема о коэффициентах; полный дифференциал.

20. Формула для полного приращения. Достаточное условие дифференцируемости.

21. Частные производные сложной функции. Полная производная сложной функции.

22. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.

23. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

24. Производная по направлению: определение; вывод формулы.

25. Градиент; связь производной по направлению с градиентом. Скалярное поле. Линии уровня.

26. Дифференциальное уравнение: определение; порядок; решение.

27. Начальные условия и задача Коши. Случаи уравнений 1-го и 2-го порядков.

28. Теорема существования и единственности. Общее и частное решение. Общий и частный интеграл.

29. Метод разделения переменных. Теорема об общем интеграле.

30. Однородное ДУ 1-го порядка.

31. Линейное ДУ 1-го порядка.

32. Уравнения, допускающие понижение порядка.

33. Комплексные числа. Свойства арифметических операций.

34. Тригонометрическое представление комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра.

35. Функции комплексного переменного.

36. Линейные дифференциальные уравнения II порядка. Задача Коши.

37. Теорема о свойстве линейной комбинации решений ЛОДУ.

38. Линейная зависимость и независимость функций. Вронскиан.

39. Фундаментальная система решений ЛОДУ. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ.

40. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ.

41. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение Эйлера. Характеристическое уравнение.

42. Структура общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения (таблица).

43. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

44. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

45. Понятие числового ряда. Общий член ряда. Примеры рядов.

46. Частичные суммы ряда. Сумма ряда.

47. Необходимое условие сходимости ряда.

48. Ряд, образованный геометрической прогрессией.

49. Свойства сходящихся рядов: сложение, вычитание, умножение на число.

50. Теорема об остатке ряда.

51. Знакоположительные ряды. Необходимый и достаточный признак сходимости.

52. Первый и второй признаки сравнения.

53. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.

54. Интегральный признак Коши. Гармонический ряд. Обобщённый гармонический ряд.

55. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

56. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

57. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

58. Функциональные ряды. Область сходимости.

59. Степенной ряд. Центр сходимости. Теорема Абеля.

60. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

61. Теоремы о дифференцировании и интегрировании степенных рядов.

62. Разложение функции в степенной ряд. Теорема единственности. Ряды Тейлора и Маклорена.

63. Формула Тейлора. Остаточный член. Критерий разложения функции в ряд Тейлора.

64. Разложение функций еx, shx и chx в ряд Маклорена.

65. Разложение функций ln(1x) и arctgx в ряд Маклорена.

66. Разложение функций sinx и cosx в ряд Маклорена.

67. Разложение функции (1x)m в ряд Маклорена.

68. Применение степенных рядов.

69. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Теорема Дирихле.

70. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

71. Ряд Фурье на промежутке [l;l].

72. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на промежутке [0, l]. Четное и нечетное продолжения.

73. Применение рядов Фурье для вычисления сумм числовых рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье.

74. Практический гармонический анализ.

75. Двумерная интегральная сумма. Определение двойного интеграла.

76. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

77. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу.

78. Двойной интеграл в полярных координатах.

79. Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел с помощью двойного интеграла. Вычисление площади поверхности.

80. Вычисление массы пластинки. Моменты инерции пластинки. Статические моменты и координаты центра тяжести пластинки.

81. Трёхмерная интегральная сумма. Определение тройного интеграла.

82. Свойства тройного интеграла.

83. Вычисление тройного интеграла.

84. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

85. Преобразование координат в пространстве. Якобиан. Вычисление якобиана для цилиндрических и полярных координат.

86. Тройной интеграл в сферических координатах.

87. Вычисление массы, объема и координат центра тяжести тела с помощью тройного интеграла.

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ 3-го семестра

1. Способы задания кривых на плоскости. Гладкие и кусочно-гладкие кривые. Интегральная сумма по длине дуги. Определение криволинейного интеграла I рода.

2. Геометрический смысл и свойства криволинейного интеграла I рода.

3. Геометрическое истолкование дифференциала длины дуги. Вычисление криволинейного интеграла I рода при параметрическом и явном задании плоской кривой.

4. Интегральная сумма по координатам. Определение криволинейного интеграла II рода. Различные виды криволинейных интегралов II рода.

5. Физический смысл и свойства криволинейного интеграла II рода.

6. Вычисление криволинейного интеграла II рода. Связь криволинейных интегралов I и II рода.

7. Формула Грина. Вычисление площадей плоских фигур с помощью криволинейного интеграла II рода.

8. Поверхностный интеграл 1-го рода.

9. Поверхностный интеграл 2-го рода.

10. Векторное поле. Циркуляция. Ротор.

11. Формула Стокса.