5.3. Каскадное слияние

При каскадном -ленточном слиянии налентах первоначально находится в общем случае разное количествоупорядоченных серий с длинами.

Слияние происходит за несколько этапов. На каждом этапе последовательными слияниями (по одной серии с каждой ленты) опустошается очередная лента (с минимальным числом серий). Лента с новыми, уже более длинными сериями не участвует в дальнейших слияниях вплоть до завершения прохода по всем данным. Длина новой серии равна сумме длин серий на участвующих лентах. Поскольку число участвующих лент последовательно уменьшается, убывает и длина новой, «слитой» серии.¹

Пример. Пусть в слиянии участвует лент. Значком

будем обозначать, что в текущий момент на ленте находитсясерий длины; пустую ленту обозначает значок

Ленты, не участвующие в дальнейших слияниях вплоть до завершения прохода по всем данным, помечены «*».

Исходное расположение серий на лентах:

Рис. 31

Общее количество элементов на лентах, таким образом, выражается числом .

Шаг 1. Опустошение ленты с минимальным числом серий. После того, как ленту будет слито по одной серии, на ней окажется одна серия диной, а на первых четырёх лентах число серий уменьшится на единицу:

Рис. 32.

После слияния ещё одной четвёрки серий на ленту получится следующее распределение серий:

Рис. 33.

Закончится первый шаг после ещё одного слияния распределением:

Рис. 34.

Шаг 2. Опустошение ленты . Слияние теперь производится на ленту . Длина возникающих на ней серий равна. Серии лентыв дальнейших слияниях не участвуют. Аналогично первому шагу придём к распределению (промежуточные слияния не отображаем):

Рис. 35.

Шаг 3. Опустошение ленты . Слияние теперь производится на ленту . Длина возникающих на ней серий равна. Серии лентыи лентыв дальнейших слияниях не участвуют. Аналогично предыдущему придём к распределению:

Рис. 36.

Первый этап окончен — завершён проход по всем данным. Свободна лента . Остальные ленты готовы ко второму этапу.

Второй этап сопровождается следующими распределениями серий (показаны ситуации опустошения очередной ленты):

Рис. 37.

Рис. 38.

В результате на ленте оказывается полностью отсортированный массив изэлементов.

Рис. 39.

Если ставится цель, чтобы в последнем слиянии на пустую ленту участвовали все остальные ленты, по одной серии на каждой (так что они опустошаются разом), то приходим к так называемому точному начальному распределению серий. Отправляясь от желаемого конечного распределения (длины серий не важны) получаем перед очередным проходом по всем данным (пустая лента не показана, номера лент с указанным числом серий могут не совпадать с номером столбца в таблице — важно распределение серий):

1	0	0	0
1	1	1	1
4=1+1+1+1	3=1+1+1	2=1+1	1
10=4+3+2+1	9=4+3+2	7=4+3	4
30=10+9+7+4	26=10+9+7	19=10+9	10
…	…	…	…
a	b	c	d (a>b>c>d)
a+b+c+d	a+b+c	a+b	a

Последняя строка таблицы означает, что если на каком-либо «ретроспективном» шаге имеем распределение серий по лентам

,

то после очередного прохода по всем данным придём к распределению .

1В убывании числа участвующих лент и заключается «каскадность» слияния.

121