6.4.3.Удаление из дерева поиска

Пусть при поиске узла, подлежащего удалению, определено значение указателя на него с помощью приведённого выше алгоритма поиска и вставки. Следует различать три случая:

1) узел не имеет ни одного потомка;

2) узел имеет только одного потомка;

3) узел имеет обоих потомков.

В первом случае обнуляется ссылка на узел его родителя, и область памяти, занятая удаляемым узлом, возвращается в пул свободной памяти. Во втором случае ссылка нав родительском узле заменяется ссылкой на. При наличии уобоих потомков следует найти непосредственно следующий за ним по порядку ключей узел— самый левый в правом поддереве, заменить содержимое узла(ключевое поле и поля данных) на содержимое узла, после чего удалить узелпо схеме первого или второго случая, поскольку.

Алгоритм удаления узла из дерева поиска содержит следующие этапы.

╔

Ш1. Проверка пустоты ссылки удаляемого элемента:

;

если , то

;

перейти к Ш4.

Ш2. Поиск преемника удаляемого элемента:

;

если , то

;

;

перейти к Ш4.

Ш3. Поиск пустой ссылки :

1) ;

2) если , то

;

возврат к 1).

3) если , то

;

;

;

.

Ш4. Область, занятая удаляемым узлом , переходит в пул

свободной памяти.

╚

6.4.4. Оптимальное бинарное дерево поиска

Если накоплена статистика о частоте обращения к поиску для всех ключей, то возможна оптимизация структуры дерева, направленная на более быстрое нахождение более часто заказываемых ключей.

Пусть узлы дерева представляют имеющиеся в файле значения . Заданывероятностей, связанных с возможными положениями ключа поискаотносительно узлов:

,

где

—вероятность совпадения ключа поиска с ;

;

;

,

.

Таким образом, вероятности описывают ситуации удачного поиска, а— неудачного. В ряде задач целью поиска может служить как раз установление факта отсутствия ключа в списке, так что следует учитывать при оптимизации равноправно оба возможных исхода.

Если внутренний узел имеет уровень, то для его отыскания при удачном поиске потребуетсясравнений (начиная с корня дерева, имеющего нулевой уровень, и заканчивая сравнением с). Если— уровень- го внешнего узла, то при неудачном поиске потребуетсясравнений

Тогда математическое ожидание количества сравнений при поиске выражается числом

и называется ценой дерева. Требуется найти структуру дерева, при которой цена минимальна:

В этой задаче математического программирования управляемыми переменными, которые определяют структуру дерева, являются числа .

Дерево с минимальной ценой при заданных вероятностях называетсяоптимальным.

Оптимальные деревья обладают важным свойством: все поддеревья оптимального дерева также оптимальны. В [9] описан ряд основанных на динамическом программировании алгоритмов построения оптимальных деревьев.