11. Кусочное задание функции.

Пусть задана совокупность функций и совокупность предикатов, гдеи, причем области истинности предикатов попарно не пересекаются.

Введем следующие обозначения: .

Определение. Говорят, что функция задана кусочным образом относительно заданной совокупности функций и предикатов, если она удовлетворяет следующим условиям:

,

Теорема 4. Функция f(x), заданная кусочным образом из совокупности , является ПРФ относительно ψ

Доказательство. Пусть представляющая функция для предикатаp_i(x), где . Тогда покажем, что функциюf(x) можно представить следующим образом . (32)

1. Рассмотрим произвольный набор .

Пусть для какого – то предикат, где. Тогда по определению представляющей функции предиката, получаем, что, следовательно

а для всех остальных ii₀ , p_i(x₀)=л, отсюда

.

Таким образом, в данном случае, мы получаем, что

.

2. Предположим, что для любого i, , тогда, где. Следовательно,, а

Из пунктов 1–2 следует, что на множестве функция

совпадает с функцией , которая задана кусочным образом из совокупности ψ. Так как операции конечного суммирования и конечного произведения сохраняют свойством примитивно рекурсивности функций, следовательно, рассматриваемая функция является ПРФ относительно ψ. Ч.т.д.

Лемма 1.1. Подстановка примитивно рекурсивной функции в предикат равенства есть примитивно рекурсивный предикат.

Доказательство. Пусть заданы примитивно рекурсивные функции и пусть– предикат равенства.

Рассмотрим предикат вида .

Он является примитивно рекурсивным предикатом. Действительно, для данного предиката представляющей функцией является функция вида ,

которая является ПРФ.

12 Операция ограниченной минимизации.

Пусть задан всюду определенный предикат .

Определение. Говорят, что функция получена из предиката в результате операции ограниченной минимизации, т.е. , если выполняется следующие равенства.

Действительно эта равенства имеет место.

1. Пусть , тогдаи для всехy<y₀ .

Следовательно

.

2. Пусть, . Тогда по определению операции ограниченной минимизациидля всехy, где . Следовательно, в правая часть формуле (1), равна z+1 единиц.

Таким образом, из пунктов 1–2 следует, что формула (34) удовлетворяет заданию функции с помощью операции ограниченной минимизации. Так как операции конечного произведения и конечного суммирования сохраняют свойства примитивной рекурсивности функцией, то получаем, что функция является ПРФ относительно.

Следствие. Операция ограниченной минимизации сохраняет свойство примитивной рекурсивности функций.

13.Частично рекурсивные функции.

Пусть задана функция .

Определение. Говорят, что . получено из с применением операции ограниченной минимизации, если имеет место следующее равенство:(44)

и обозначают (45)

Лемма 1.2. Операция ограниченной минимизации сохраняет свойство примитивной рекурсивности функции.

Действительно, если имеется алгоритм, вычисляющий функции, то есть и алгоритмвычисляющий функции..

Доказательство. Пусть требуется вычислить значение функции  на произвольном наборе.

1шаг. Применим алгоритм к набору. Если через конечное число шагов алгоритм завершает свою работу результативно, т.е. вычислено значениеи=0, то значение функциина наборе. считаем равным 0. Если, то переходим к следующему этапу, на котором применяем алгоритмк набору.

Если через конечное число шагов алгоритм завершает свою работу на данном наборе результативно, т.е. вычислено значение и, то значение функциина наборе. считаем равным 1. Если, то переходим к следующему этапу и т.д.

Если на (t+1) шаге вычислено значение и, то значение функции φ на наборе. считаем равнымt. Если , то переходим к следующему этапу.

В случае, когда алгоритм завершает свою работу на каком-то этапе безрезультативно, или работает бесконечно, то будем считать, что значение не определено на данном наборе, т.е. на наборе .

Определение. Частично рекурсивным описанием (ЧРО) функции f называется конечная последовательность функций , удовлетворяющих следующим условиям:

1. _;

2. i, – яв-ся либо элемент-й функцией, либо получается из предшествующей ей последовательности функций с помощью одной из операций: подстановки, примитивной рекурсии или ограниченной минимизации.

Определение. Функция f называется ЧРФ, если существует ее ЧРО.

Определение. Функция f называется общерекурсивной, если она ЧРФ и всюду определена. (В других источниках такие функции называются тотальными или просто рекурсивными.)

каждая примитивно рекурсивная функция является частично рекурсивной, но обратное неверно.

Введем обозначения:

K_ПРФ – класс примитивно рекурсивных функций;

K_ОРФ – класс общерекурсивных функций;

K_ЧРФ – класс частично рекурсивных функций.

Тогда между этими классами имеется соотношения:

K_ПРФ K_ОРФ K_ЧРФ.

Таким образом, класс ЧРФ – самый богатый из построенных классов вычислимых функций и имеет место следующее включение: K_ЧРФК_ВФ,

где К_ВФ – класс вычислимых функций.

Тезис Черча–Клини представляет гипотезу, из которой следует обратное включение, т.е. К_ВФK_ЧРФ.

Таким образом, класс алгоритмически вычислимых функций совпадает с классом частично рекурсивных функций.