6.Операции конечного суммирования и конечного произведения.

Пусть задана функция .

Определение. Говорят, что функция σ получена из функции с применением операции конечного суммирования, если для любого набора переменныхвыполняется следующее равенство:

(1)

Определение. Говорят, что функция δ получена из функции с применением операции конечного произведения, если для любого набора переменныхвыполняется следующее равенство:

(2)

Теорема 1. Операции конечного суммирования и конечного произведения сохраняют свойство примитивной рекурсивности функции.

Доказательство. Приведем доказательство относительно операции конечного суммирования (аналогично доказывается относительно операции конечного произведения).

Пусть σ, тогда по определению операции примитивной рекурсии получим:

Таким образом, функция σ получается по операцией примитивной рекурсии из функции

и , т.е. σ=R(

Действительно

Очевидно, что

Из задания функций иh следует, что они являются ПРФ соответственно относительно совокупности{g}. Функция σ-ПРФ относительно функций иh. Следовательно, операция конечнего суммирования сохраняет свойство примитивной рекурсивности функции. Ч.т.д.

7.Предикат, логическая функция. Логические операции с предикатами.

Предикат – логическая функция, определенная на некотором множестве M, т. e. такая n–местная функция p, которая каждому упорядоченному набору  M сопоставляет некоторое высказывание, обозначаемое .p наз-ся n–местным предикатом на множ-е M. Пусть задано произвольное множество М.

Определение. Одноместным предикатом р(х) на множестве М называется функция вида p:M→{1,0}. (5)

Двуместным предикатом на множестве М называется функция видаp: M x M→{1,0}. (6) и т.д.

n–местным предикатом на множестве M называется функция вида

p: M x M x…x M → {1,0} = →{1,0}. (7)

Пусть задано множество M– область определения предиката , (где М.–произв-е мн-о).

Определение. Подмножество множеств M, состоящее из тех значений переменных, при которых данный предикат преврашается в истинностное высказывание, называется областью истинности предиката и обозначается следующим образом:M[p(x)]={x ϵ M|p(x)=1}.(8)

Операции с предикатами

Пусть на множ-е М. заданы предикаты p(x) и q(x).

Определение. Конъюнкцией предикатов p(x) и q(x) называется бинарный предикат, обозначаемый

r(x)=p(x)˄q(x), который принимает значение «истина» для тех и только тех значений xϵ M, при кот-х оба исходных предиката p(x) и q(x) превращаются в истинное высказывание.

Пусть – множ-о истинности предикатаp(x), – множество истинности предикатаq(x), тогда множеством истинности предикат r(x) яв-ся множество вида M[r(x]=M . (9)

Операции с предикатами

Определение. Дизъюнкцией предикатов p(x) и q(x) называется новый предикат, обозначаемый s(x)=p(x)˅q(x), который принимает значение «истина» для тех и только тех значений xϵ M, при которых хотя бы одно из высказываний (предикатов) p(x) и q(x) истинно.

M[s]= (10) – мн-о истинности предик-а S(x).

Определение. Отрицанием предиката p(x) с областью определения M называется предикат с той же областью определения, обозначаемый , который принимает значение «истина» для тех и только тех значенийxϵ M, при которых p(x) есть ложное высказывание.

Множеством истинности предикат является множестваM[]=M\ (11)

Определение. Импликацией предикатов p(x) и q(x) называется новый предикат, обозначаемый z(x)=p(x)→q(x), который принимает значение «ложь» для тех и только тех значений xϵ M, при которых предикат p(x) яв-ся истинным высказыванием, а q(x)–ложным.

Множ-о истинности предиката z(x) является множества M=. (12)