3.Примитивно рекурсивные функции. Основные свойства операций подстановки и примитивной рекурсии.

Основные свойства операции подстановки

1⁰.Операция подстановки сохраняет свойство всюду определенности функций, т.е. если функция

и функции

всюду определенные функции и функция f получается из них с помощью операции подстановки f=S(g,,,

то f также является всюду определенной функции.

Доказательство.

Пусть произв-е ф-ии отn переменных.

Рассмотрим произвольный набор .

Тогда будут определены в этом наборе в силу свойства всюду определенности.

Функция g будет определена на наборе , в силу свойства всюду определенности, а по определению подстановки это и есть функцияf.

Таким образом, мы доказали, что функция f определена на наборе .

Так как, мы взяли произвольный набор из множества натуральных чисел, то свойство доказано.

2⁰. Операция подстановки сохраняет свойство алгоритмической вычислимости функций:

если функции иалгоритмически вычислимы, и

f=S(g,,, то существует алгоритмA_f, вычисляющий функцию f.

Доказательство. Пусть задан произвольный набор . Это означает, что этот набор, гдеi=1,…,m. Далее поступаем следующим образом:

1 шаг: применяем к набору алгоритм, вычисляющий функцию. Так как функцияпо условию алгоритмически вычислимая функция, то за конечное число шагов алгоритмдает конечный результат для функции.

2 шаг: применяем к набору алгоритм, вычисляющий функцию. Так как функцияпо условию алгоритмически вычислимая функция, то через конечное число шагов работа алгоритмазавершается результативно, т.е. будут вычислено значение функцияна набореи т.д. Если работа всех алгоритмовна наборезавершилась результативно, т.е. вычислены соответствующие значения, на следующий шаг, т.е.

m+1–шаг: применяем алгоритм , вычисляющий функциюg, к набору . В силу свойства алгоритмически вычислимости функциюg, через конечное число шагов алгоритм завершает работу на наборерезультативно, и этот результат будем считать значением функцииf, так как по определению операции подстановки

f .

В случае, когда алгоритм гдеi=1,…,m не останавливается или завершает работу нерезультативно, будем считать, что искомый алгоритм для вычисления данной функции, т.е. функции f , не существует.

Основные свойства операции примитивной рекурсии

1⁰. Сохранение свойства всюду определенности функций,

т.е если ивсюду определенные функции, тотоже будет всюду определенная функция,

где f=R(g,h).

Доказательство. Берем произвольный набор и докажем, что на этом наборе функцияf определена. Доказательство проводим методом математической индукции по y.

1 шаг. Пусть y=0. Тогда по определению операции ПР получаем, что

Так как функция g всюду определенная функция по условию, то функция f определена на наборе .

2 шаг. Предположим, что функция f определена на наборе

3 шаг. Доказываем что функции f определена на наборе .

По определению операции ПР получаем, что

.

А функция h обладает свойством всюду определенности по условию. Следовательно, функция f определена на наборе . Так как функцияf является арифметической функцией, то метод математической индукции позволяет сделать вывод, что она всюду определена.

2⁰. Сохранение алгоритмической вычислимости функций, т.е.,

если иявляются алгоритмически вычислимыми функциями, то алгоритм , вычисляющий функцию, гдe

:.