Глава 2. Основы статистического описания и логическая схема статистического критерия.

2.1 Генеральная и выборочная совокупности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным — контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко.

Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайным образом отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n =100.

2.2.Выборочные характеристики

Выборочная средняя

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если получена выборка x₁, х₂,…, х_n (1),

то (2).

Если же значения признака x_j(1), х_j(2),…, х_j(k) имеют соответственно частоты n₁, n₂,…,n_k, причем n₁+n₂+…+n_k=n, то (2) принимает вид:

, т.е.

т. е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Замечание. Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть, очевидно, определенное число. Если же извлекать другие выборки того же объема из той же генеральной совокупности, то выборочная средняя может изменяться от выборки к выборке.

Таким образом, выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, а, следовательно, можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения (его называют выборочным), в частности о математическом ожидании и дисперсии выборочного распределения.

Заметим, что в теоретических рассуждениях выборочные значения x₁, х₂,…, х_n признака X, полученные в итоге независимых наблюдений, также рассматривают как случайные величины X₁, Х₂, . . ., Х_n, имеющие то же распределение, что и исходная случайная величина Х и, следовательно, те же числовые характеристики, которые имеет X.

Выборочная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику— выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Если все значения х₁, х₂, ..., х_n признака выборки объема n различны, то

Если же значения признака х₁, х₂,…, х_k имеют соответственно частоты n₁,n₂,…,n_k, причем n₁+n₂+…+n_k = n, то , т. е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Пример 1. Выборочная совокупность задана таблицей распределения

	1	2	3	4
	20	15	10	5

Найти выборочную дисперсию.

Решение. Найдем выборочную среднюю:

Найдем выборочную дисперсию:

Пример 2: По данной выборке определить выборочные среднее, дисперсию, уточненную дисперсию, среднее квадратическое отклонение (смещенное и уточненное).  3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 7, 2, 5, 6, 7, 1, 7, 2, 7, 8, 9, 1, 9, 8, 7, 8, 1, 1, 2.  Решение:  Представим имеющиеся данные в виде таблицы:   

х i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ni	4	3	1	2	2	2	6	4	2

   Выборочная средняя:  Выборочная дисперсия:Выборочное среднее квадратическое отклонение:Исправленная выборочная дисперсия:Исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение: