Тема 9. Статистические методы изучения взаимосвязей

Цель занятия: Освоить методику применения статистических методов для изучения взаимосвязей социально-экономических явлений

Решение типовых заданий:

Задание 4

Имеются выборочные данные по 10 однородным предприятиям.

№ предприятия………………………………….1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Электровооруженность труда…………..……..1 5 3 7 2 6 4 9 8 4

На одного рабочего, кВтч

Выпуск готовой продукции

На одного рабочего,т……………………………3 6 4 6 4 8 6 9 9 5

Построить однофакторную регрессионную модель.

Решение. Предположим, что между Электровооруженностью труда и выпуском готовой продукции существует линейная корреляционная связь, которую можно выразить уравнением прямой вида

Факторными признаком является электровооруженность труда, а результативным - выпуск готовой продукции.

Для определения формы корреляционной связи необходимо вычислить параметры уравнения прямой путем решения системы нормальных уравнений вида (2). Чтобы заполнить систему нормальных уравнений фактическими данными, необходимо определить ,

Расчеты этих показателей произведем в таблицу 39.

Таблица 18

Расчет сумм вычисления параметров уравнения прямой по несгруппированным данным

№ п\п	Электровооруженность Труда на одного рабочего,кВт.ч	Выпуск продукции на одного рабочего,т	xy
1	2	3	6	4	9	3,61	0,3721
2	5	6	30	25	36	6,01	0,0001
3	3	4	12	9	16	4,41	0,1682
…	…	…	…	…	…	…	…
9	8	9	72	64	81	8,38	0,381

Продолжение таблицы 18

10	4	5	20	16	25	5,20	0,04
итого	50	60	343	304	400	60	5,761
В среднем	50	6,0	34,3	30,4	40,0	6,0	0,5761

Подставим в систему нормальных уравнений фактические данные из таблицы. И получим равенства

Систему нормальных уравнений решаем в такой последовательности (по методу множителей): умножим каждый член первого уравнения на число, равное 5,получим

Затем вычтем из второго уравнения первое: ,откуда

После постановки значения a1 в первое уравнение получим

С помощью определителей параметры уравнения прямой можно вычислить по формулам.

Если параметры регрессионного уравнения определены верно, то должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпирических значений выпуска готовой продукции, а сумма разностей между эмпирическими и теоретическими значениями выпуска готовой продукции должна быть равна нулю.

Окончательную проверку правильности расчета параметров уравнения связи можно также произвести подстановкой а0 и а1 в систему нормальных уравнений .

Используя уравнения корреляционной связи, можно определить теоретическое значения yx для любой промежуточной точки (теоретическое значение выпуска готовой продукции на одного рабочего дня любого промежуточного значения электровооруженности труда на одного рабочего)

В нашем уравнении регрессии параметр а1=0,796 показывает, что с увеличением электровооруженности труда одного рабочего на 1 кВт.ч выпуск готовой продукции возрастает на 0,796 т.

Средний коэффициент эластичности исчислим по формуле:

Коэффициент эластичности, равной 0,66, показывает, что с увеличением электровооруженности труда на 1 % выпуск готовой продукции возрастет на 0,66%.

Измерим тесноту корреляционной связи между производительностью и электровооруженности труда линейным коэффициентом корреляции, теоретическим корреляционным отношением, индексом корреляции, которые рассчитываются по формулам. Данные, необходимые для расчета этих показателей, представлены в таблице.

Для расчета теоретического корреляционного отношения необходимо предварительно вычислить дисперсии , ,

,по формулам

_у²=

²_у-ух =

_ух²=

Теоретическое корреляционное отношение по формуле равно:

Коэффициент детерминации равен 0,856. Индекс корреляции по формуле :

R=

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают тесную связь между производительностью и электровооруженностью труда. Коэффициент детерминации 0,856 означает, что вариация выработки рабочих на 85,6% объясняется вариацией электровооруженности труда и на 14,4 %- прочими факторами.

Так как r=R=, то можно сделать заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

Проведем оценку адекватности регрессионной модели у_х=2,02+0,796х, выражающий зависимость между производительностью труда, с помощью F-критерия Фишера- формула :

F_э=

Табличные значения F_тc уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы равно 5,32. Так как F_э>F_т, то уравнение регрессии можно признать адекватным.

Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента по формулам:

t_a0=2,02

t_a1=0.796

Значение вычисляется по формуле:

=

Табличное значение t-критерия с уровнем значимости 0,05 и числом степени свободы

(n-2) равно 2,301.

Так как t_эмп>t_табл, то параметры уравнения регрессии можно признать значимыми.

Значимость коэффициента корреляции оценим с помощью t-критерия по формуле

Так как параметры уравнения регрессии значимы, уравнение значимо, показатели тесноты значимы, ошибка аппроксимации равна 5,8%, коэффициент детерминации равен 0,856, то можно сделать заключение, что построенная регрессионная модель зависимости производительности труда от его электровооруженности у_х=2,02+0,796х может быть использована для анализа и прогноза.