Рабочая_тетрадь_по_м._а

3 Задания для самостоятельной работы

Исследовать функцию на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):

1.у х3 1

х1

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2

2. у 3х 3

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3. у хх2 1х

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

1 2х 1

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

6. у х 1,прих 0

х 1,прих 0

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4 ех 1

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

21

Тема: Производная функции в точке, её геометрический, механический и экономический смысл

1Контрольные вопросы:

1.Дайте определение производной функции

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2.В чем заключается геометрический смысл производной?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.Какое утверждение правильное?

а) если функция непрерывна в некоторой точке, то она дифференцируема в этой точке;

б) если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

_________________________________________________________________

4.Каков механический смысл первой и второй производной

__________________________________________________________________

5.Как составить уравнение касательной и нормали к графику функции

y=f(x) в точке М0(х0,у0)?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2 Практические задания по теме

Задание 1. Найти производную функции, пользуясь определением:

1)у=х2-2х+3

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2)f(x)= sin2x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3)f(x)=x3+4

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4)f(x)=ex

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к графику

функции y=f(x) в точке М0(х0,у0): 1. у=2х3-3х2+6х-3, х0=2

22

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2.у=ln(1+x), x0=0

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.y=sinх, x0= /3

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Задание 3. Решить следующие задачи:

3.1 Какой угол образуют с осью абсцисс касательная к графику функ-

ции, проведенной в указанной точке?

а) у=х2-5х+8, х0=3

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

б) у=ln(1-x), x0=0

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.2Составить уравнение касательной к кривой у = 5х – х2, параллельной прямой, проходящей через точки (1; 7) и ( - 2; 2).

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.3Составить уравнения касательных к кривой у = х3 + 2х + 1, перпендикулярных прямой 5у + х – 4 = 0.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.4Составить уравнение касательной к кривой у = е-х: а) проходящей параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов;

б) отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный – 1.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.5Составить уравнение касательной к кривой у=2х+3/х+4, проходящей через точку М (6; 2).

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

23

__________________________________________________________________

Задание 4. Найти угол между кривыми:

а) у = х2 + 5х – 1 и у = х2 + 4

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

б) у = х3 и у = 1/х2

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

в) х2 + 4у2=9 и у2 = 2х.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3 Творческая работа (это интересно знать)

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

24

Тема: Производная функции, формулы и правила дифференцирования

1.Контрольные вопросы:

1.Сформулируйте основные правила дифференцирования:

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2.Запишите таблицу производных основных элементарных функций:

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.Как найти производную показательно-степенной функции?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4.Как найти производную функции, заданной в неявном виде?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2 Практические задания по теме:

Задание 1. Найти производные следующих функций:

1.а) у =(3х 4 4х 2 )5

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

б) у =arccos2x+ 1 4х2

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

в) у = 2tgx xsin 2x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

д) xlny+ylnx=0

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

25

2. а) у = arctg x2 1

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

б) у = e3x 2x tg3x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

в) x2 y2 ln xy 7

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3. а) у = xctg3x 2x 2

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

в) у = ln x2 2x x 1

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

г) ex+ey-exy=1

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4. а) у = arcsin 3x 1 9x2

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

б) у = xsin x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

в) у = etgx x cos 2x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

г) у = xln x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

д) xsin y y sin x 0

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

26

5. а) у = 3x2 4 4x 3 5

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

б) у = x3 3x2 ln x cos2 x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

в) у = tgx sin x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

г) у = 2 e3x

x 4x 3

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

д) e2 x e 3 y arctg x y

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

6. а) у = arctg x2 4

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

б) у = ln 5 25 x2 x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

в) у = ecos2 2x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

г) у = tg3x sin 2 x

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

д) x2 xy2 e3x 3 y

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

27

Тема: Исследование функций и построение графиков

1Контрольные вопросы:

1.Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2.Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования экстремума функции:

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3.Как определить интервалы вогнутости и выпуклости и точки перегиба кривой у = (х)?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4.Дайте определение асимптоты кривой у = (х):

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

5.Сформулируйте правило Лопиталя для вычисления предела функ-

ций:

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

6.Запишите схему исследования функции и построение её графика:

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

ипостроить её график.

1)Находим область определения функции

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

2)Исследуем функцию на четность, нечетность:

______________________ функция______________, график её симметричен относительно_________________.

28

3) Исследуем функцию на непрерывность, рассмотрим поведение функции в т.____________ Найдем предел функции в них:

_____________________________________________________________

________________точки разрыва ______рода.

4)Найдем асимптоты графика функции:

–прямые ____________________ вертикальные асимптоты;

–выясним наличие наклонных и горизонтальных асимптот

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

5)Исследуем функцию на монотонность и экстремумы:

5.1Найдем производную функции

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

5.2Найдем критические точки функции

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

5.3Отметим критические точки на числовой прямой с учетом области определения и найдём знак производной на каждом из полученных промежутков

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

5.4Найдемпромежуткивозрастанияиубывания, определимточкиэкс-

тремума

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

6) Определим интервалы выпуклости и точки перегиба:

6.1Найдем вторую производную функции

_________________________________________________________________

6.2Найдем точки в которых вторая производная функции равна 0 и найдём знак 2-ой производной на каждом из полученных промежутков

_________________________________________________________________

6.3х ___________ график функции выпуклый вниз

х _______________ график функции выпуклый вверх

___________ – точка перегиба

29

7) Построим график функции

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Задание 2.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции: 2.1. у = 23 х3 52 х2 2х

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

30