matem-up1

α1 (x)±α2 (x) является бесконечно малой. Применяя снова

теорему 5.3, получаем утверждение а). Утверждения б), в), доказываются аналогично.

Замечания.

1) Из утверждения б) теоремы 5.4 и примера 5.1 следует, что постоянный сомножитель С можно выносить за символ предела:

Прежде чем перейти к примерам вычисления пределов, сформулируем важный результат, который будет широко использоваться. Обоснование теоремы приведём позже, в пункте 5 этого раздела.

Теорема 5.5. Для всех элементарных функций f (x) справедливо равенство

lim f (x) = f (x0 ) ,

x→x0

если точка x0 принадлежит области определения функции. Пример 5.5. Вычислить:

161

определения, поэтому

lim log3 (10 + cos x)= log3 (10 + cosπ )= log3 (10 − 1)= 2 .

x→π

Если функция, стоящая под знаком предела, не определена в предельной точке, то вычисление предела – более трудная задача, для решения которой нужно применять специальные приёмы. Рассмотрим некоторые из них на примерах.

x0 = −1 , так как знаменатель обращается в 0. Теоремой 5.4 вос-

ким образом, исходный предел не существует. Поведение функ-

ции f (x)= 2xx++17 в окрестности точки x = −1 показано на ри-

сунке.

Пример 5.7. Вычислить lim x3 − x2 − x + 1 .

x→1

Решение. Предел нельзя найти непосредственной подстановкой вместо x величины 1, под знаком предела – отношение

162

двух бесконечно малых функций. В таких случаях говорят, что

0

имеем неопределённость вида . Так как многочлены чис-

0

лителя и знаменателя дроби обращаются в нуль при x = 1, то, согласно теореме Безу, можно без остатка разделить эти многочлены на (x – 1):

гичная ситуация. Можно снова произвести деление (или сократить, после разложения многочленов на множители):

В последнем пределе неопределённости уже нет, и мы воспользовались свойствами пределов.

раскрыть, умножим числитель и знаменатель на выражение 2x + 1 + 3 – множитель, необходимый для получения формулы «разность квадратов» в знаменателе:

163

в которых результаты вычисления пределов будут самыми разными. Поэтому такие выражения и называют неопределённо-

Если предел не содержит неопределённости, значит, с помощью основных свойств пределов, он вычисляется совсем просто.

Решение. В данном случае имеем неопределённость вида

∞ . В подобного рода примерах, чтобы избавиться от неопре-

∞

делённости, «раскрыть» её, числитель и знаменатель делят почленно обычно на старшую степень многочлена знаменателя, в

данном случае на x2 :

164

Решение. Для того, чтобы раскрыть неопределённость

∞

, поделим числитель и знаменатель на x:

∞

Решение. В числителе имеем неопределённость вида (∞ −∞): квадратный корень положителен, поэтому

9 x2 − 1 → +∞ , а 2 x → −∞ . Снова поделим числитель и знаменатель на x , учитывая, что x < 0 :

Рассмотрим ещё одно свойство пределов.

Теорема 5.6 (о пределе промежуточной функции).

Пусть в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f (x)≤ g (x)≤ h(x). Тогда если

165

1.4. Два замечательных предела

Применим теорему 5.6 для доказательства важного равенства:

тральный угол (в радианах), причём 0 < x < π2 . Рассмотрим тре-

угольники OАB, OАD и круговой сектор OАB. Ясно, что их площади удовлетворяют неравенствам

S∆OAB < Sсектора OAB < S∆OAD .

Вычислим эти площади, учитывая, что OА = ОB = 1, AD = tg x :

S∆OAD = 21 OA AD = 21 tg x .

166

заключена между двумя функциями, имеющими при x→ 0 оди-

наковый предел, равный 1. Отсюда следует, что и lim sin x = 1 .

x→0 x

Пример 5.12. Вычислить lim 1 − cos 2x .

x→0 2x2

Решение.

Второй замечательный предел можно записать в виде:

предел, связанный с раскрытием неопределенности вида (1∞ ).

Чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, сделаем преобразования:

167

1.5. Числовая последовательность и её предел

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел, каждому из которых присвоен порядковый номер:

x1 , x2 , x3 , ... , xn , ....

Более строго можно определить последовательность как отображение → :

1 → x1 , 2 → x2 , 3 → x3 , ... , n → xn , ... .

Таким образом, задать последовательность означает указать правило, по которому можно определить число, зная его порядковый номер. Для краткости последовательность будем обозна-

чать {xn} . Число x1 называется первым элементом (членом) последовательности, x2 – вторым, …, xn – общим или n-м

элементом последовательности.

Пример 5.14. Последовательность 1, 21 , 13 , 41 , 51 , ... по-

строена следующим образом: каждому натуральному числу n

соответствует число n1 , значит xn = n1 , последовательность

можно записать кратко 1 .

⎩n

Пример 5.15. В последовательности {(−1)n }, как и в лю-

бой другой, бесконечно много элементов:

168

xn = c ( n).

Последовательность {xn} называется возрастающей, если

xn ≤ xn+1 ( n ). Если xn < xn+1 ( n ), то {xn} называется

строго возрастающей. Аналогично определяются убывающие

( xn ≥ xn+1 ) и строго убывающие ( xn > xn+1 ) последовательно-

сти. Последовательности этих типов объединяются под общим названием монотонных (или строго монотонных).

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество её значений ограничено сверху (снизу). Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Условие ограниченности можно записать в виде:

C : n xn ≤ C .

Дадим определение конечного предела последовательно-

сти.

Число b называется пределом последовательности {xn} ,

если для любого (даже очень маленького) положительного числа ε можно указать такое натуральное число n0, что при всех n ≥ n0 элементы последовательности xn отличаются от b мень-

ше, чем на ε.

Это определение можно записать в символической форме:

В общем случае n0 зависит от ε. Как правило, чем меньше ε, тем больше n0.

Последовательность, для которой точка b является преде-

лом, называют сходящейся к этой точке.

Пример 5.16. Показать, что lim 1 = 0 .

n→∞ n

Решение. Требуется доказать, что

169

ε1 ). Ясно, что при n > n0 будет выполнено n1 < ε .

Дадим определение бесконечного предела последовательности:

В отличие от последовательностей, которые сходятся к конечному пределу, последовательности, которые имеют бесконечный предел (так же, как и последовательности, не имеющие ни конечного, ни бесконечного предела) называют расходящи-

мися.

Решение. В самом деле, если выбрать, например, ε = 1, то все элементы последовательности с чётными номерами попадают в ε-окрестность точки x = 1, а все элементы с нечётными номерами – в ε-окрестность совсем иной точки x = – 1, причём, эти окрестности не имеют общих точек.

Но, по определению, если бы какая-либо точка была пределом этой последовательности, то все её элементы, начиная с некото-

170