9. Скалярное произведение векторов

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в прямоугольной системе координат:

a ={ax , ay , az } и b ={bx ,by ,bz } .

Скалярным произведением векторов a и b называется число равное сумме произведений соответствующих координат:

Теорема. Скалярное произведение векторов a и b равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

a b = a bcosθ .

Доказательство: Выберем такую прямоугольную систему координат, чтобы векторы a и b лежали в плоскости x,y, а вектор a был бы направлен вдоль положительного направления оси x.

Следовательно, a b = axbx + ayby + azbz = abcosθ .

Бывает полезным представить эту теорему в несколько ином виде: a b = a Pr ojab = b Pr ojba

или

cosθ = aa bb .

Согласно последней формулировке косинус угла между векторами a

и b равен скалярному произведению единичных векторов aa и bb .

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если a b , то cosθ =cos π2 =0 , что приводит нас к следующему условию ортогональности векторов a ={ax , ay , az } и b ={bx ,by ,bz } :

16

Если

axbx + ayby + azbz = 0 ,

то a b .

2. Если b = a, то θ = 0 и cosθ =1. Тогда

a a = a2 = ax2 +a2y +az2 .

Следовательно, длина вектора a выражается формулой

a = ax2 +a2y +az2 .

Используя две различных формулы для скалярного произведения векторов, и зная координаты векторов, мы можем легко найти угол между ними:

Большинство приложений скалярного произведения связано именно с нахождением угла между векторами, а также с использованием условия ортогональности векторов.

9.1. Свойства скалярного произведения

Нижеприведенные свойства основаны на определении скалярного произведения или непосредственно вытекают из доказанной теоремы. Их доказательство не приводится в виду своей очевидности.

1) Скалярное произведение векторов коммутативно: a b = b a .

2) Скалярное произведение векторов дистрибутивно:

(a +b) c = a c +b c .

3) Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны друг другу и обратно, если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

a b a b =0 .

9.2. Примеры

Пример 1. Легко проверить, что векторы

i = {1, 0, 0}, j = {0, 1, 0} и k = {0, 0, 1}

образуют ортонормированный базис, т.е. являются единичными взаимно перпендикулярными векторами:

i i =1, j j =1, k k =1, i j = i k = j k =0 .

17

Пример 2. Если a = {2, –1, 3}, b = {5, 7, 4} и θ – угол между векторами a и b, то

a b = 2 5 +(−1) 7 +3 4 =15 ,

a =| a |= a a = 22 +(−1)2 +32 = 14 , b =| b |= b b = 52 +72 +42 = 80 = 4 5

Пример 3. Найти угол между векторами a ={3, 2, −5} и b ={5, 7, 4}.

Решение. Так как

a b =3 1+4 3 +(−5) 3 =0 ,

то векторы являются ортогональными.

Пример 4. Выразить скалярное произведение векторов p и q через длины векторов a и b, если p = a + b и q = a – b.

Решение.

p q = (a +b) (a −b) = a 2 −a b +b a −b2 = a2 −b2 .

Пример 5. Зная две стороны AB и AC треугольника ABC и угол θ между этими сторонами, найти третью сторону треугольника.

c2 = a2 + b2 − 2ab cosθ ,

что представляет собой известную из элементарной математики теорему косинусов.

Таким образом,

c = c2 = a2 + b2 − 2abcosθ .

18