Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

Математика

Файл:

Введение в математику

.pdf

Скачиваний:

602

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

26.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то

zn = rn (cos(n') + i sin(n')):

Эта формула называется

формулой Муавра.

Пример 2.4. Вычислить z6, åñëè r = 3, arg z =

Решение. По формуле Муавра получаем, что:

z6 = 36

cos

+ i sin

= 36

cos

+ i sin

= 3

(0 + i 1) = 729i:

Пример 2.5. Вычислить

Решение. Поскольку z =

i, òî x =

, y =

. Модуль комплексного

числа

= v

2 = 1:

r =

u 2

Аргумент определим из

системы

уравнений:

8cos ' = 2;

< sin ' =

Заметим, что угол

находится

во II четверти. Значит,

' = 3

z = 2 +

23i = 1

cos

+ i sin

По формуле Муавра получаем, что

= 117 cos 17

+ i sin

2 +

23i!

= cos

+ i sin

= cos 12 23

+ i sin 12

= cos 23

+ i sin 23

= 2

23 i:

Определение 2.6. Корнем n -й степени из комплексного числа z называется комплексное число !, удовлетворяющее равенству !n = z.


Åñëè z = x + yi = r(cos ' + i sin '), òî
!k = pn		cos	' + 2 k		+ i sin	' + 2 k	;
	r
			n			n
ãäå k = 0; 1; : : : ; n 1.
				лежат на окружности радиуса				r в вершинах
Все значения корня степени n							pn

правильного n -угольника.

Пример 2.6. Найти все значения корня 4 2 + 2i и изобразить их на комплекс- ной плоскости.

Решение. Поскольку z = 2 + 2i, то x = 2, y = 2. Модуль комплексного числа

r = j2 + 2ij = 22 + 22 = 2 2:

Аргумент определим из системы уравнений:

	2
>cos ' =				;
		p2		;
		p2	2
> sin
<	' =			:
>	2
>
:

Значит,

' = 4 è z = 2 + 2i = 2p2 cos

+ i sin

Получаем, что

!k =

0cos

+42 k

1 + i sin

0 4

+42 k

;

2p2

ãäå

k = 0; 1; 2; 3

cos

+ i sin

;

Ïðè k = 0: !0

2p2

cos

;

ïðè k = 1: !1

2p2

16 + i sin 16

cos

ïðè k = 2: !2 = 4

2p2

+ i sin

cos

;

= 4

2p2

16 + i sin 16

ïðè k = 3: !3 = 4

2p2

cos

+ i sin

cos

= 4

2p2

16 + i sin 16

Получили, что все значения корня 4 2 + 2i являются вершинами квадрата с p p

диагональю 2 4 2 2.

Пример 2.7. Решить уравнения:

1)x2 10x + 74 = 0;

2)2x2 x + 10 = 0;

3)x2 + 16 = 0;

4)* x2 + 2x 5 3xi i = 0.

Решение.

Для уравнения x2 10x + 74 = 0, получаем, что

D = ( 10)2 4 1 74 = 100 296 = 196 = i2 142 = (14i)2;

x1;2 =

(14i)2

14i

= 5

7i; x1

= 5

7i, x2

= 5 + 7i.

Заметим, что для уравнения 2x2 x + 10 = 0

1 p

D = ( 1)2 4 2 10 = 1 80 = 79 = i2 79;

10 p

i; x

i, x

79i2

1;2

4 4

Для уравнения x2 + 16 = 0 имеем:

x2 = 16;

x2 = (4i)2;

x1 = 4i, x2 = 4i.

4)* Сначала уравнение x2 + 2x 5 3xi i = 0 преобразуем к виду

x2 + x(2 3i) 5 i = 0:

Тогда

D = (2 3i)2 4 1 ( 5 i) = 4 12i + 9i2 + 20 + 4i = 15 8i;

x1;2 =

2 + 3i 15 8i

D =

. Пусть

, ãäå

Найдем значения

15 8i = u + vi

действительные числа. Отсюда получаем, что

15 8i = (u + iv)2 è 15 8i = u2 v2 + 2uvi.

Приравниваем действительные и мнимые части, получаем систему уравне-

íèé:

(

2uv =

v2 = 15;

= 4, v1 = 1 è u2 = 4,

Решая эту систему уравнений получим, что u1

v2 = 1.p

èëè p

. Возьмем p

. Тогда

Значит, D = 4 + i

D = 4 i

D = 4 + i

2 + 3i 4 + i

4i 6

3 + 2i,

2 + 3i + 4 i

2 + 2i

= 1 + i.

получим те же результаты.

Очевидно, что взяв D = 4 i

2.4Многочлены. Делимость многочленов

Определение 2.7. Многочленом n -й степени от переменной z называется выражние вида:

f(z) = a0zn + a1zn 1 + + an 1z + an:

Здесь a0; a1; : : : ; an действительные числа, которые называются коэффициентами многочлена, a0 6= 0. Можно рассматривать и многочлены с комплексными коэффициентами.

Пример 2.8. f(z) = 3z5 + z4 z + 2 многочлен пятой степени с действительными коэффициентами.

Пример 2.9. f(z) = z2 2iz + 5 4i многочлен второй степени с комплексными коэффициентами.

Пример 2.10. Любая константа (число) является многочленом степени 0.

Определение 2.8. Многочлены f(z) = a0zn + a1zn 1 + + an 1z + an è g(z) = b0zm + b1zm 1 + + bm 1z + bm называются равными, åñëè m = n

и коэффициенты при одинаковых степенях z совпадают: a0 = b0, . . . , an = bn.

Определим операции сложения и умножения многочленов. Чтобы сложить два многочлена, нужно в выражении

f(z) + g(z) = (a0zn + a1zn 1 + : : : + an) + (b0zm + b1zm 1 + : : : + bm)

привести подобные члены, представив его как некоторый новый многочлен. Чтобы вычислить произведение многочленов f(z), g(z), нужно раскрыть

скобки по обычным правилам и в полученном выражении привести подобные:

f(z)g(z) = (a0zn + a1zn 1 + : : : + an)(b0zm + b1zm 1 + : : : + bm) = = a0b0zm+n + (a0b1 + a1b0)zm+n 1 + : : : + anbm:

Заметим, что степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей.

Теорема 2.2. (о делении многочленов с остатком) Для любых многочленов f(z) и g(z) существуют многочлены h(z) и r(z), такие, что

f(z) = g(z) h(z) + r(z);

причем степень остатка r(z) строго меньше степени делителя g(z). Много- члены h(z) и r(z) определяются единственным образом.

Если деление выполняется без остатка, т. е. остаток равен 0, то говорят, что многочлен f(z) делится на многочлен g(z)

f(z) = g(z) h(z):

Пример 2.11. Разделить многочлен f(z) на многочлен g(z), если:

1)f(z) = z5 3z4 + z3 + 2z2 5z + 1, g(z) = z2 + z + 2;

2)f(z) = 2z4 z3 + 2z 3, g(z) = z 1;

3)f(z) = 3z3 7z2 + 2z, g(z) = z2 + 1.

Решение.

1) Выполним деление многочлена f(z) на многочлен g(z):

Получаем, что

z5 3z4 + z3 + 2z2 5z + 1 = (z2 + z + 2)(z3 4z2 + 3z + 7) + ( 18z 13):

2) Выполним деление многочлена f(z) на многочлен g(z):

Значит, 2z4 z3 + 2z 3 = (z 1)(2z3 + z2 + z + 3):

3) Выполним деление многочлена f(z) на многочлен g(z):

Таким образом, 3z3 7z2 + 2z = (z2 + 1)(3z 7) + ( z + 7):

Заметим, что константа C 6= 0 является делителем любого многочлена.

Пример 2.12. Многочлен 2z + 7 делится на 5, потому что

2z + 7 = 5	5z +		5	:
	2		7

2.5 Корни многочлена. Разложение на множители. Определение 2.9. Число a называется корнем многочлена f(z), если

f(a) = 0:

Корни многочлена могут быть как действительными, так и комплексными.

Пример 2.13. Число 5 является корнем многочлена z3 + 5z2 z 5, ò. ê.

( 5)3 + 5 ( 5) ( 5) 5 = 0.

Пример 2.14. Число i является корнем многочлена z3 + 3z2 + z + 3, ò. ê. i3 + 3 i2 + i + 3 = i2 i + 3 ( 1) + i + 3 = i 3 + i + 3 = 0. Число 2 не является корнем многочлена z3 +3z2 +z+3, ò. ê. 23 +3 22 +2+3 = 8+12+2+3 = 25 6= 0.

Теорема 2.3. (теорема Безу) Остаток от деления f(z) на многочлен z a

равен числу f(a).

Следствие. Если a корень f(z), то f(z) делится на z a без остатка.

Пример 2.15. Проверить, что комплексное число z0 = 2 + i является корнем многочлена f(z) = z3 5z2 + 9z 5 и разделить f(z) на z z0.

Решение. Проверим, что z0 = 2 + i является корнем многочлена f(z). Получа- ем, что f(2 + i) = (2 + i)3 5(2 + i)2 + 9(2 + i) 5 = 8 + 3 22 i + 3 2 i2 + i3

5(4 + 4i + i2) + 18 + 9i 5 = 8 + 12i 6 i 20 20i + 5 + 18 + 9i 5 = 0.

Теперь разделим f(z) на многочлен z (2 + i):

Таким образом, остаток от деления равен нулю и z3 5z2 + 9z 5 делится на z (2 + i).

Пусть a корень многочлена f(z). Тогда f(z) = (z a)f1(z).

Определение 2.10. Если a не является корнем многочлена f1(z), то a называется простым корнем f(x).

Если a является корнем многочлена f1(z), òî f1(z) = (z a)f2(z) и, значит, f(z) = (z a)2f2(z).

Определение 2.11. Натуральное число k такое, что f(z) = (z a)kfk(z), ãäå fk(a) 6= 0 называется кратностью корня a.

Говорят, что в этом случае многочлен f(z) имеет k одинаковых корней a.

Пример 2.16. Определить кратность корня z = z0 для многочлена f(z), если:

1)f(z) = z3 4z2 7z + 10, z0 = 1;

2)f(z) = z4 + 6z3 3z2 56z 48, z0 = 4.

Решение.

1) Выполним деление многочлена z3 4z2 7z + 10 на многочлен z 1:

Получаем, что f1(z) = z2 3z 10 è f(1) = 12 3 1 10 = 12 6= 0. Значит, z0 = 1 простой корень.

2) Выполним деление многочлена z4 + 6z3 3z2 56z 48 на многочлен z + 4:

Следовательно, f1(z) = z3 + 2z2 11z 12 è

f1( 4) = ( 4)3 + 2( 4)2 11( 4) 12 = 0:

Теперь делим f1(z) íà z + 4:

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
20.11.20186.93 Mб29Введение в математику лекции.doc
#
14.02.201526.69 Mб602Введение в математику.pdf