Введение в математику

Определение 1.5. Объединением множеств A и B называется множество

A [ B, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из

множеств A, B:

A [ B = fxjx 2 A èëè x 2 Bg:

Определение 1.6. Разностью множеств A и B называется множество

A n B, состоящее из элементов множества A, которые не входят в B:

A n B = fxjx 2 A è x 62Bg:

Определение 1.7. Дополнением к множеству A называется множество

A, состоящее из элементов, не входящих в A:

A = fxjx 62Ag:

11

Пример 1.6. Найти A \ B, A [ B, AnB для множеств A = f2; 1; 4g и

B = fb j b2 3b + 2 = 0g.

Решение. Сначала найдем элементы множества B. Решением квадратного уравнения b2 3b + 2 = 0 являются числа b1 = 1 è b2 = 2. Значит, B = f1; 2g. По определению, A \ B = f1; 2g, A [ B = f1; 2; 4g, AnB = f4g.

Утверждение 1.1. Пусть конечные множества A и B имеют n(A) и n(B)

элементов соответственно. Тогда число элементов n(A [ B) равно n(A [ B) = n(A) + n(B) n(A \ B):

Пример 1.7. В двух группах учатся 50 студентов. Из них 12 добираются в университет на автобусе, 18 на троллейбусе, 7 студентов пользуются и автобусом, и троллейбусом, а остальные студенты идут до университета пешком. Найдите сколько студентов добираются в университет пешком.

Решение. Пусть A множество студентов, которые добираются в университет на автобусе, B множество студентов, которые для приезда в

N n(A [ B) = N n(A) n(B) + n(A \ B) = 50 12 18 + 7 = 27.

Определение 1.8. Декартовым произведением множеств A и B называ-

ется множество

A B = f(a; b)ja 2 A; b 2 Bg:

Элементами множества A B являются упорядоченные пары элементов, первый из A, второй из B.

Пример 1.8. Найти декартово произведение множеств A = f2; 1; 4g и

B = f1; 2g.

Решение. A B = f(2; 1); (2; 2); (1; 1); (1; 2); (4; 1); (4; 2)g.

1.2Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

12

Примерами числовых множеств являются:

N = f1; 2; 3; : : : g множество натуральных чисел;

Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : : g множество целых чисел;

множество действительных чисел.

Между этими множествами существуют соотношения

N Z Q R:

Заметим, что рациональные числа это конечные или бесконечные периоди- ческие десятичные дроби. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Иррациональные числа выражаются бесконечными непериодическими дробями. Таким образом, множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел.

Пусть a и b действительные числа, причем a < b. Числовыми проме-

жутками называют подмножества множества действительных чисел, имеющих следующий вид:

[a; b] = fx j a x bg отрезок; (a; b) = fx j a < x < bg интервал;

[a; b) = fx j a x < bg, (a; b] = fx j a < x bg полуинтервалы; ( 1; b] = fx j x bg, ( 1; b) = fx j x < bg,

[a; +1) = fx j x ag, (a; +1) = fx j x > ag,

( 1; +1) = fx j 1 < x < +1g бесконечные интервалы. Пусть x0 произвольная точка на числовой прямой.

Определение 1.9. Интервал (x0 "; x0 + "), где " > 0, называется окрестностью (или " окрестностью) точки x0 и обозначается U"(x0), ò.å.

U"(x0) = fx j jx x0j < "g.

Равносильны следующие записи:

x 2 U"(x0) () x0 " < x < x0 + " () jx x0j < ":

Расширим числовую прямую, добавив две бесконечно удаленные точки: 1, +1. Их положение можно описать с помощью окрестностей, определяемых следующим образом:

13

U( 1) = fx 2 R j x < Ng, U(+1) = fx 2 R j x > Ng,

где N сколь угодно большое положительное число.

Пример 1.9. Пусть A = [ 2; 2], B = ( 1; +1), C = (0; 3]. Найти A [ C,

A \ B, A [ B, (A [ B) \ C и изобразить эти множества на координатной прямой.

Решение. Для наглядности изобразим множества A, B и C на числовой прямой.

Исходя из определения объединения и пересечения множеств, получаем:

A [ C = [ 2; 3], A \ B = ( 1; 2],

A [ B = [ 2; +1), (A [ B) \ C = (0; 3]. Изобразим полученные множества на числовой прямой:

Заметим, что (A [ B) \ C = C.

1.3Задачи к главе 1

1.1 Даны множества A = f 2; 0; 1; 3; 4; 7; 9g и B = f2; 3; 5; 7g. Найти A [ B,

A \ B, AnB, BnA.

1.2 Пусть A множество делителей числа 15, B множество простых чи- сел, меньших 10, C множество натуральных четных чисел, меньших 9. Задать множества A, B и C перечислением их элементов и найти A [ B,

A [ C, B \ C, (A [ C) \ B.

14

множество натуральных решений неравенства (1 x)2+3x2 < (2x 1)2+7, C множество решений неравенства jx + 4j 7. Задать множества A, B и C перечислением их элементов или в виде числовых промежутков, и найти A [ B, B \ C, A \ C.

1.11 В магазине "Канцелярские товары" обычно покупают либо одну тетрадь, либо одну ручку, либо одну тетрадь и одну ручку. В один из дней было продано 57 тетрадей и 36 ручек. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и тетрадь, и ручку?

1.12 В группе из 100 человек 70 знают английский язык, 45 французский язык и 23 человека знают оба языка. Найдите сколько людей в группе не знают ни английского, ни французского языка.

15

Комплексные числа и многочлены

2.1Основные понятия

Пусть x, y действительные числа, i некоторый символ.

Определение 2.1. Комплексным числом z называется выражение вида

z = x + yi.

Множество всех комплексных чисел будем обозначать через C. Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re(z), y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im(z).

Рассмотрим частные случаи. Пусть y = 0, тогда z = x + 0 i = x отождествляется с действительным числом x. Поэтому множество действительных чисел является подмножеством множества всех комплексных чисел, т.е. R C. Если же x = 0, то z = 0 + yi = yi называется чисто мнимым числом.

Определение 2.2. Два комплексных числа z1 = x1 + y1i è z2 = x2 + y2i íàçû-

ваются равными (z1 = z2) тогда и только тогда, когда их действительные

и мнимые части равны: x1 = x2, y1 = y2.

Замечание. Отношения , <, , > для комплексных чисел не определяются.

Определение 2.3. Два комплексных числа z = x + yi и z = x yi, отличаю-

щиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Введем алгебраические операции на множестве комплексных чисел. Сложение и умножение комплексных чисел определяются так:

(x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i;

(x1 + y1i)(x2 + y2i) = (x1x2 y1y2) + (x1y2 + x2y1)i:

16

Поскольку i2 = (0 + 1 i)(0 + 1 i) = (0 0 1 1) + (0 1 + 0 1)i = 1, то операцию умножения комплексных чисел можно выполнять по обычным правилам

z z = (x + yi)(x yi) = x2 + xyi xyi y2i2 = x2 + y2

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Таким образом, частным двух комплексных чисел z1 è z2 6= 0 называется комплексное число z, которое при умножении на z2 дает число z1, ò.å. z2 z = z1.

Покажем как на практике выполняется операция деления. Сначала умножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, а затем пользуемся определением операции умножения:

Пример 2.2. Вычислить ( 1 + i)(2 7i) + i21.

Решение. ( 1+i)(2 7i)+i21 = 2+2i+7i 7i2 +i i20 = 2+9i+7+i(i2)10 =

=5 + 9i + i( 1)10 = 5 + 9i + i = 5 + 10i.

2.2Формы записи комплексных чисел

Запись z = x+yi называется алгебраической формой записи комплексного числа.

17

Введем на плоскости декартову систему координат Oxy. Любое комплексное число z = x + yi можно изобразить точкой M с координатами (x; y). При этом действительные числа z = x + 0 i будут располагаться на оси Ox, которая называется действительной осью. Чисто мнимые числа вида z = 0 + yi изображаются точками оси Oy, которая называется мнимой осью. Вся плоскость называется комплексной плоскостью.

Определение 2.4. Модулем комплексного числа z = x+yi называется число

p

r = x2 + y2 и обозначается r или jzj.

Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки, изображающей это число, до начала координат.

Определение 2.5. Аргументом комплексного числа z = x + yi называет-

ся величина угла между положительным направлением действительной оси

!

Ox и вектором OM, обозначается Arg z. При этом аргумент считается по-

!

ложительным, если поворот от оси Ox к OM совершается против часовой стрелки.

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z 6= 0 величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2 k, k 2 Z. Получаем, что Arg z = arg z + 2 k, k 2 Z, где ' = arg z значение угла Arg z, удовлетворяющего условию < ' , которое назы-

вается главным значением аргумента (иногда в качестве главного значе- ния аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2 )). Посколь-

ку Arg z = '+2 k, k 2 Z, то cos(Arg z) = cos('+2 k) = cos ' и, соответственно, sin(Arg z) = sin '.

Так как x = r cos ', y = r sin ', то любое комплексное число можно записать в виде

z = x + yi = r(cos ' + i sin ').

18

Такая запись называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Аргумент ' определяется из формул:

cos ' = xr , sin ' = yr .

3)z = 1 i;

4)z = 1.

19

(

cos ' = 1; sin ' = 0:

Получаем, что ' = 0 и z = 1 = 1 (cos 0 + i sin 0) :

Изобразим эти числа на комплексной плоскости:

Это завершает решение задачи.

Для записи комплексных чисел можно использовать показательную форму записи:

z = rei';

где r модуль комплексного числа, ' главное значение аргумента.

2.3Возведение в степень и извлечение корней из комплексных чисел

Теорема 2.1. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, т. е.

z1 z2 = r1 r2 (cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)):

20